第1章机械波的基本概念

1.1 机械波的形成

机械波是机械振动在弹性介质中的传播。当介质中某一点受到扰动而偏离平衡位置时，由于介质内部各质点之间存在弹性相互作用力，该扰动会依次传递给邻近质点，从而形成波的传播。

形成机械波必须同时具备两个条件：

波源：做机械振动的物体，提供波的能量和频率
介质：具有弹性和惯性的连续物质，传递扰动

直观情景：向平静的水面投一块石子，石子落点处的水分子开始上下振动，通过水分子间的相互作用，这个振动以同心圆的形式向外扩散，这就是水波——一种机械波。

需要注意一个关键概念：波传播的是振动状态和能量，而不是介质本身。介质中的质点仅在各自的平衡位置附近振动，并不随波迁移。

1.2 横波与纵波

根据质点振动方向与波传播方向的关系，机械波可分为两类：

横波（Transverse Wave）

质点振动方向与波的传播方向相互垂直。

横波的特征：

具有波峰（质点位移最大的正向位置）和波谷（质点位移最大的负向位置）
横波只能在固体中传播（因为需要切变弹性），不能在液体和气体中传播
典型例子：绳波、电磁波（虽然不是机械波，但也是横波）

纵波（Longitudinal Wave）

质点振动方向与波的传播方向相互平行（在同一直线上）。

纵波的特征：

介质中出现交替的密部（质点密集区，压强较大）和疏部（质点稀疏区，压强较小）
纵波可以在固体、液体、气体中传播（因为只需要体弹性）
典型例子：声波（空气中的压缩与膨胀）

对比项	横波	纵波
振动方向	垂直于传播方向	平行于传播方向
波形特征	波峰、波谷	密部、疏部
所需介质	仅固体	固体、液体、气体
典型例子	绳波	声波

1.3 波长、周期和频率、波速

波长 λ

沿波的传播方向，两个相邻的、振动状态完全相同的质点之间的距离，即一个完整波形的长度。

在横波中，波长等于相邻两个波峰（或波谷）之间的距离；在纵波中，波长等于相邻两个密部（或疏部）中心之间的距离。

周期 T 与频率 f

周期 T：波传播一个完整波长所需的时间，即介质中任一质点完成一次全振动所需的时间
频率 f：单位时间内通过某点的完整波的个数，即质点每秒完成全振动的次数

两者互为倒数关系：

f = \frac{1}{T}

频率由波源决定，不随介质改变；而波长和波速会随介质改变。

波速 v

波在介质中传播的速度，即振动状态（相位）传播的速度。波速由介质的性质决定。

三者之间的关系为：

v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}

参数关系可视化

上图中：

左图：振幅相同、波长不同的波。波长越长，波形越"舒展"
中图：振幅相同、频率不同的波。频率越高，波形越"密集"
右图：频率相同、波速不同的波。波速越大，波长越长（由 v=λf）

波速与介质的关系

不同介质中波速不同，以声波（纵波）为例：

介质	声速（约值，m/s）
空气（20°C）	343
水	1480
钢铁	5000

一般来说，固体中波速 > 液体中波速 > 气体中波速，这与介质的弹性模量和密度有关。对于固体中的横波，波速公式为：

v = \sqrt{\frac{G}{\rho}}

其中 G 为切变模量，ρ 为密度。对于固体中的纵波：

v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}

其中 Y 为杨氏模量。

本章小结：

机械波的形成需要波源和弹性介质，传播的是振动状态和能量
横波质点振动方向垂直于传播方向，纵波质点振动方向平行于传播方向
波长、频率、波速满足 v=λf，频率由波源决定，波速由介质决定

第2章波线、波面、波前与波函数

2.1 波线、波面、波前

波面（Wave Surface）

波面是介质中振动相位相同的所有点所构成的面。在某一时刻，波面上各点的振动状态（位移、速度、加速度）完全相同。

波源做简谐振动时，波面是等相位面
同一时刻存在无数个波面，相邻波面间距为一个波长

波前（Wave Front）

波前是最前面的那个波面，即波扰动所到达的最远边界。波前随着波的传播不断向前推进。

波前是波面的一个特例（最靠前的波面）
波前的形状决定了波的类型

波线（Wave Ray）

波线是沿波的传播方向画出的带箭头的线，表示能量传播的方向。

在各向同性均匀介质中，波线总是垂直于波面
波线是几何光学中"光线"概念的推广

波的分类（按波面形状）

球面波：波面为同心球面的波，如点波源在各向同性均匀介质中发出的波
- 振幅随距离衰减（能量分散在越来越大的球面上）
- 远距离处可近似为平面波
平面波：波面为平行平面的波，如远离波源的球面波的局部区域
- 振幅不随距离衰减（理想情况）
- 波线相互平行

直观情景：水面上点波源产生的波纹是圆形波面（二维类比球面波）；远处的海浪接近直线形波面（二维类比平面波）。

2.2 简谐波的波函数

从简谐振动到简谐波

设原点处波源做简谐振动，振动方程为：

y(0, t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)

考虑波以速度 $v$ 沿 $x$ 轴正方向传播。在时刻 $t$ ，位于 $x$ 处的质点的振动状态，是波源在更早时刻 $t - \Delta t$ 的振动状态（其中 $\Delta t = x/v$ 为波传播到该点所需的时间）。

因此， $x$ 处质点在时刻 $t$ 的位移为：

y(x, t) = A \cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{v}\right) + \varphi_0\right]

这就是沿 $x$ 轴正方向传播的简谐波的波函数（行波方程）。

利用 $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ 和 $v = \frac{\lambda}{T}$ ，波函数可以写成多种形式：

y(x, t) = A \cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{v}\right) + \varphi_0\right]

y(x, t) = A \cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \varphi_0\right]

y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \varphi_0)

其中 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ 称为波数，表示单位长度上相位的变化量。

沿负方向传播

如果波沿 x 轴负方向传播，则波函数为：

y(x, t) = A \cos(\omega t + kx + \varphi_0)

规律：传播方向与 x 同向则取减号（−kx），反向则取加号（+kx）。

波函数动画演示

动画中：

蓝色曲线为波形曲线（固定时刻各质点位移随位置的分布）
红点标记了 x=π 处质点的振动，可见该质点仅在平衡位置附近上下振动，不随波迁移
整个波形以速度 v=2.0 向右平移

2.3 波函数的物理意义

波函数 y(x,t) 是时空二元函数，具有双重物理意义：

（1）固定时刻 t=t0：波形曲线

令 t=t0（常数），波函数变为：

y(x, t_0) = A \cos(\omega t_0 - kx + \varphi_0)

这是位置 x 的函数，描述了该时刻介质中所有质点的位移分布——即波形图（快照）。

（2）固定位置 x=x0：振动曲线

令 x=x0（常数），波函数变为：

y(x_0, t) = A \cos(\omega t - kx_0 + \varphi_0)

这是时间 t 的函数，描述了该位置质点随时间的振动规律——即振动图（该质点的简谐振动）。

（3）三维视角

从三维曲面可以直观地看出：

沿 x 方向（固定 t）截取，得到波形曲线——空间周期为 λ
沿 t 方向（固定 x）截取，得到振动曲线——时间周期为 T
整个曲面呈现规则的"波脊"结构，波脊的倾斜方向指示了波的传播方向

波函数的核心参数总结

参数	符号	物理意义	由谁决定
振幅	A	质点最大位移	波源能量
角频率	ω	振动快慢	波源
波数	k=2π/λ	空间相位变化率	介质（通过波速）
波速	v=ω/k	相位传播速度	介质性质
初相位	φ0	t=0,x=0 时的相位	波源初始状态

本章小结：

波面是等相位面，波前是最前面的波面，波线垂直于波面
简谐波函数 $y(x,t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi_0)$ 是时空二元函数
波函数既可以描述波形（固定时间），也可以描述振动（固定位置）

第3章波动的能量

3.1 波动能量的传播

当波在介质中传播时，介质中的每个质元都在做受迫振动，因此具有动能；同时，由于介质发生形变，质元之间具有弹性势能。波动的过程就是能量传播的过程。

质元的动能与势能

考虑一根线密度为 $\mu$ （或体密度为 $\rho$ ）的弹性介质中的简谐波：

y(x, t) = A \cos(\omega t - kx)

质元的振动速度为：

v = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \sin(\omega t - kx)

动能密度（单位体积的动能）：

w_k = \frac{1}{2}\rho v^2 = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\sin^2(\omega t - kx)

势能密度（单位体积的势能）：

对于简谐波，可以证明势能密度与动能密度相等：

w_p = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\sin^2(\omega t - kx) = w_k

总能量密度：

w = w_k + w_p = \rho A^2\omega^2\sin^2(\omega t - kx)

关键发现

动能密度和势能密度同时达到最大和最小——这与弹簧振子不同（弹簧振子的动能和势能相互转化，此消彼长）
在平衡位置处（位移为零），动能和势能同时达到最大值
在最大位移处，动能和势能同时为零

能量密度分布可视化

上图中：

上图：蓝色曲线为位移波形，红色虚线为质点速度。注意质点速度最大处（平衡位置）恰好对应位移为零
下图：动能密度（红色）和势能密度（绿色），总能量密度（蓝色）是它们的两倍。能量集中在质点运动最快的区域

3.2 能流与能流密度

能流（Energy Flow）

能流是单位时间内通过某一截面的能量，即能量传输的功率。

设波的传播方向上有一面积为 $S$ 的截面，在 $\Delta t$ 时间内，波向前传播了 $v\Delta t$ 的距离，通过该截面的能量为体积 $S \cdot v\Delta t$ 内的波动能量：

\Delta E = w \cdot S \cdot v\Delta t

因此，能流（单位时间的能量传输）为：

P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = w \cdot S \cdot v

能流密度（Intensity）

能流密度（又称波的强度）是单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的能量，即单位面积上的能流：

I = \frac{P}{S} = w \cdot v

对于简谐波，瞬时能流密度为：

I = \rho A^2\omega^2 v \sin^2(\omega t - kx)

在一个周期内取平均，得到平均能流密度（这是实验中常测量的量）：

\bar{I} = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2 v

重要结论

\bar{I} \propto A^2

波的强度与振幅的平方成正比。这是波动的一个非常重要的性质，在声学、光学中有广泛应用。

能流密度可视化

上图中：

左图：能量沿波的传播方向流过截面 S，能流密度矢量 $\vec{I}$ 的方向与波的传播方向一致
右图：瞬时能流密度随位置呈周期性变化（正弦平方），平均能流密度为常数（红色虚线）

3.3 球面波的强度衰减

对于点波源发出的球面波，能量均匀分布在不断扩大的球面上。在距离波源 r 处的球面面积为 $4\pi r^2$ ，因此能流密度为：

I = \frac{P_{\text{total}}}{4\pi r^2}

其中 Ptotal 为波源的总功率（假设无能量损失）。由于 $I \propto A^2$ ，可得球面波的振幅随距离的衰减规律：

A \propto \frac{1}{r}

即：球面波的振幅与距离成反比，这是远距离处球面波可近似为平面波的原因。

本章小结：

- 波动中动能密度和势能密度相等且同相，总能量密度 $w = \rho A^2\omega^2\sin^2(\omega t - kx)$

- 能流密度（波的强度） $I = wv$ ，平均能流密度 $\bar{I} = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2 v \propto A^2$

- 球面波的振幅与距离成反比，强度与距离平方成反比

第4章惠更斯原理与波的衍射

4.1 惠更斯原理

惠更斯原理（Huygens' Principle）是荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯于1678年提出的波动理论核心概念：

波前上的每一点都可看作发射次级子波的波源，这些子波向各个方向传播，它们的包络面（所有子波波前的公切面）即为新的波前。

原理要点

次级波源：在任意时刻 t，波面上的每一点都可视为新的次级波源
子波传播：每个次级波源向周围发射球面子波，速度与原波相同
新波前：经过时间 Δt 后，所有子波波前的包络面即为 t+Δt 时刻的新波前

直观情景

想象向池塘投入一粒石子：

石子落点形成一圈圆形波纹（第一个波前）
这个圆形波纹上的每个点都在激发新的圆形小波纹
这些小波纹的外包络面形成了更大的新圆——这就是下一个波前

上图中：

左图：平面波的传播——波前上各点发出的次级子波（绿色虚线）的包络面形成了新的平面波前
右图：球面波的传播——球形波面上各点发出的次级子波的包络面形成更大的球面波前

惠更斯-菲涅耳原理

菲涅耳在惠更斯原理基础上补充了关键的一点：各次级子波在空间相遇时会发生干涉，叠加后的振幅分布决定了衍射图案。这使得惠更斯原理从几何描述升级为定量理论。

4.2 波的衍射

什么是衍射

衍射（Diffraction）是指波在传播过程中遇到障碍物或缝隙时，绕过障碍物边缘继续传播的现象。

惠更斯原理解释了衍射的本质：当波前被障碍物阻挡时，未被阻挡的那部分波前上的点继续作为次级波源，向障碍物后方的区域发射子波，这些子波的叠加形成了衍射图案。

衍射条件

波能否发生显著的衍射，取决于波长 λ 与障碍物/缝隙尺寸 a 的相对大小：

当 λ≈a 或 λ>a 时，衍射现象明显
当 λ≪a 时，衍射现象不明显，波近似直线传播

这也是为什么声波（波长可达几十厘米到数米）容易绕过墙角，而光波（波长约几百纳米）的衍射通常需要微小孔径才能观察到。

衍射动画演示

上图中6个快照展示了平面波通过狭缝后的衍射过程：

波前到达狭缝前（t=0）：波为平面波，波前为平行直线
波通过狭缝后（t=1.5 ~ 3.0）：狭缝处的每一点成为新的次级波源，发出半球形的子波
衍射展开（t=4.5 ~ 7.5）：衍射波以扇形向障碍物后方传播，波长保持不变

注意：在子波传播的动画中，可以看到衍射波的波前从"平面"变为"曲面"，这就是惠更斯原理的生动体现——狭缝上的每一点都是新的波源。

单缝衍射

当平面波通过宽度为 a 的狭缝时，在远场（夫琅禾费衍射）条件下，衍射强度分布为：

I(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2

其中 $\beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}$ ，θ 为衍射角。

中央明纹：θ=0 时强度最大
暗纹条件： $\sin\theta = m \frac{\lambda}{a}$ （m=±1,±2,…）
暗纹之间的亮纹强度依次递减

衍射的物理意义

波的本质证明：只有波才能发生衍射，粒子不能，这是波的最重要特征之一
限制分辨率：光学仪器的分辨率受到衍射极限的限制（瑞利判据）
技术应用：X射线晶体衍射用于确定晶体结构、光栅分光等

本章小结：

惠更斯原理：波前上每一点都是次级波源，子波的包络面是新波前
惠更斯-菲涅耳原理补充了子波干涉效应，可定量计算衍射
衍射的显著程度取决于波长与障碍物尺寸的比值
单缝衍射产生明暗相间的衍射图案

第5章波的干涉与驻波

5.1 波的干涉

波的叠加原理

波的叠加原理：当几列波在同一介质中传播并相遇时，相遇处质点的合位移等于各列波单独引起的位移的矢量和。各波通过相遇区域后，仍保持原有的频率、波长和传播方向不变。

干涉条件

两列波产生稳定干涉图样需要满足以下条件：

频率相同
振动方向相同
相位差恒定

干涉的结果

两列同频率、同方向的简谐波叠加后，合成波的振幅取决于两列波的相位差 Δφ：

A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\Delta\varphi)}

相长干涉（建设性）：Δφ=2kπ（kk 为整数），合成振幅最大
相消干涉（破坏性）：Δφ=(2k+1)π，合成振幅最小

干涉可视化

上图展示了驻波的形成——两列振幅相同、频率相同、沿相反方向传播的波的叠加：

上图：波1向右传播（蓝色实线）
中图：波2向左传播（红色实线）
下图：叠加结果（黑色实线）——形成了驻波

双缝干涉

最经典的干涉实验——杨氏双缝干涉：

\Delta x = \frac{\lambda D}{d}

其中 D 为双缝到屏幕的距离，d 为双缝间距，Δx 为相邻明纹间距。

明纹： $\delta = d\sin\theta = k\lambda$
暗纹： $\delta = d\sin\theta = (k + \frac{1}{2})\lambda$

5.2 驻波

驻波的形成

驻波（Standing Wave）是两列振幅相同、频率相同、沿相反方向传播的简谐波叠加形成的特殊干涉现象。

设两列波分别为：

向右传播： $y_1 = A\cos(\omega t - kx)$
向左传播： $y_2 = A\cos(\omega t + kx)$

利用和差化积公式，合成波为：

y = y_1 + y_2 = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)

这就是驻波方程。

驻波的特点

与行波不同，驻波有以下显著特点：

特征	行波	驻波
波形	随时间传播	不传播，原地振动
相位	各点相位沿传播方向递变	相邻波节间各点相位相同
振幅	各点振幅相同	各点振幅随位置变化
能量	沿传播方向传输	在相邻波节间往复交换

节点与腹点

驻波方程 $y = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)$ 中：

节点（Node）：振幅为零的点，满足 cos(kx)=0
- 位置： $x = \frac{(2n+1)\lambda}{4}$ （n=0,1,2,…）
- 这些点始终静止不动
腹点（Antinode）：振幅最大的点，满足 ∣cos(kx)∣=1
- 位置： $x = \frac{n\lambda}{2}$ （n=0,1,2,…）
- 这些点振幅为 2A，振动最强烈
相邻节点间距：λ/2
节点与相邻腹点间距：λ/4

5.3 相位突变（半波损失）

当波在固定端（硬边界）反射时，反射波相对于入射波会产生π 的相位突变，称为半波损失。

物理上可以理解为：固定端的质点不能运动，入射波到达时，反射波必须与入射波在固定端抵消，因此相位差为 π。

直观情景：手握绳子一端并固定，抖动绳子产生一个脉冲。脉冲到达固定端后返回，波形会"翻转"——原来的波峰变成波谷，这就是半波损失的体现。

对于自由端反射，则没有相位突变。

5.4 驻波的能量

驻波的能量分布有以下特点：

能量在波节和波腹之间转移：
- 当所有质点通过平衡位置时（速度最大），动能集中在腹点附近
- 当所有质点到达最大位移时（速度为零），势能集中在节点附近
能量不沿波传播方向净传输：能量在相邻两节点之间来回振荡
节点附近：形变最大，势能集中 腹点附近：速度最大，动能集中

5.5 简正模式

简正模式（Normal Mode）是驻波的特定振动模式，对应系统的本征频率。

两端固定的弦

对于长度为 L、两端固定的弦，驻波条件要求两端都是节点：

L = n\frac{\lambda_n}{2}

得到允许的波长和频率：

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = \frac{nv}{2L} = nf_1 \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)

其中 $f_1 = \frac{v}{2L}$ 为基频， $f_n = nf_1$ 为第 n 次谐频。

简正模式可视化

上图中：

第1阶（n=1）：基频，只有2个节点（两端），1个腹点
第2阶（n=2）：一次泛音，3个节点，2个腹点
第3阶（n=3）：二次泛音，4个节点，3个腹点
第4阶（n=4）：三次泛音，5个节点，4个腹点

红色包络线表示振动的振幅范围，蓝色曲线表示某一中间时刻的波形，黑色圆点标记节点位置。

管乐器中的简正模式

两端开口管：两端为腹点， $f_n = \frac{nv}{2L}$ （n=1,2,3,…）
一端封闭管：封闭端为节点，开口端为腹点， $f_n = \frac{(2n-1)v}{4L}$ （仅奇次谐波）

本章小结：

波的干涉是波的叠加原理的直接结果，需要相干条件
驻波是两列反向传播的同频波的叠加，波形不传播
驻波有节点（振幅为零）和腹点（振幅最大）之分
固定端反射有半波损失（相位突变 π）
驻波的能量在相邻节点之间往复交换，不净传输
简正模式是系统的本征振动模式，频率成整数比

第6章多普勒效应

6.1 多普勒效应的概念

多普勒效应（Doppler Effect）是指当波源和观察者之间存在相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源发出的频率不同的现象。

直观情景：当救护车从你身边驶过时，你会听到警笛声的音调由高变低——救护车驶来时音调变高（频率变大），驶离时音调变低（频率变小）。

6.2 基本原理

波源静止，观察者运动

当观察者以速度 vo 相对于介质运动而波源静止时：

f' = f\left(1 \pm \frac{v_o}{v}\right)

观察者朝向波源运动：取加号（+），频率增大
观察者远离波源运动：取减号（−），频率减小

理解：观察者运动改变的是单位时间内通过的波前个数，不改变波长。

波源运动，观察者静止

当波源以速度 vs 相对于介质运动而观察者静止时：

f' = \frac{f}{1 \mp \frac{v_s}{v}}

波源朝向观察者运动：分母取减号（−），频率增大
波源远离观察者运动：分母取加号（+），频率减小

理解：波源运动改变的是波长——波源前方的波长被压缩（变短），后方的波长被拉伸（变长）。

波源和观察者同时运动

综合以上两种情况：

f′=f⋅v±vov∓vsf′=f⋅v∓vsv±vo

分子：观察者朝向取 ++，远离取 −−
分母：波源朝向取 −−，远离取 ++

6.3 多普勒效应可视化

上图中：

左图：波源静止时，波前是等间距的同心圆，各方向频率相同
右图：波源以 vs=v/2 向右运动时：
- 前方（右侧）：波前密集，波长变短，频率升高
- 后方（左侧）：波前稀疏，波长变长，频率降低

6.4 应用

医学：超声多普勒血流测量（检测血流速度）
天文学：光谱红移（星系远离）和蓝移（星系靠近）
交通：雷达测速（多普勒雷达）
气象：多普勒气象雷达（测量风速和降水）

6.5 电磁波的多普勒效应

对于电磁波（光波），由于没有介质参考系，多普勒效应公式有所不同（狭义相对论效应）：

f' = f\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}, \quad \beta = \frac{v}{c}

其中 c 为光速，v 为相对速度（朝向为正）。

本章小结：

多普勒效应由波源或观察者的相对运动引起频率变化
观察者运动改变单位时间接收的波数，波源运动改变波长
统一公式： $f' = f \cdot \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}$
电磁波的多普勒效应需用相对论公式

第7章电磁波

7.1 电磁波的产生与传播

麦克斯韦方程组

麦克斯韦在1865年建立了完整的电磁场理论，预言了电磁波的存在。核心思想：

变化的电场产生磁场（麦克斯韦修正的安培定律）
变化的磁场产生电场（法拉第电磁感应定律）

这两个效应相互耦合——变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场又产生变化的电场——形成了自我维持的传播过程，即电磁波。

电磁波的产生条件

加速运动的电荷（如振荡电偶极子）可以产生电磁波
匀速运动的电荷不产生电磁波
电磁波可以在真空中传播，不需要介质（与机械波的本质区别）

7.2 平面电磁波的特性

平面电磁波满足以下重要特性：

横波：电场 $\vec{E}$ 和磁场 $\vec{B}$ 都垂直于传播方向
相互垂直： $\vec{E} \perp \vec{B}$ ，且 $\vec{E} \times \vec{B}$ 沿传播方向
同相位： $\vec{E}$ 和 $\vec{B}$ 同时达到最大值和最小值
振幅关系：E=cB（在真空中），其中 c 为光速
波速：真空中 $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} \approx 3 \times 10^8$ m/s

电场和磁场表达式

沿 x 轴传播的平面电磁波：

\vec{E}(x,t) = E_0\cos(kx - \omega t)\hat{j}

\vec{B}(x,t) = B_0\cos(kx - \omega t)\hat{k}

其中 E0=cB0。

三维可视化

上图中：

红色：电场 $\vec{E}$ 在 y 方向振动
蓝色：磁场 $\vec{B}$ 在 z 方向振动
黑色箭头：传播方向（x 轴）
E 和 B 同相位振动，相互垂直，且都垂直于传播方向

7.3 电磁波的能量

电磁波的能量由电场能量密度和磁场能量密度组成：

电场能量密度：

w_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2

磁场能量密度：

w_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2

对于平面电磁波，可以证明 wE=wB，即电场和磁场的能量相等。

总能量密度：

w = w_E + w_B = \varepsilon_0 E^2

平均能流密度（坡印廷矢量的平均值）：

\bar{S} = \frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2}c\frac{B_0^2}{\mu_0}

其中坡印廷矢量 $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}\vec{E} \times \vec{B}$ 表示单位时间内通过单位面积的电磁能量。

7.4 电磁波谱

电磁波按频率（或波长）可分为多个区域：

注意：可见光只占电磁波谱的极小一部分——波长范围约 400~700 nm，这在 log 尺度上几乎看不出来。

重要关系

c = \lambda f

所有电磁波在真空中的传播速度相同（光速 c），不同频率的电磁波区别仅在于波长。

本章小结：

电磁波由变化的电场和磁场相互激发产生，可在真空中传播
平面电磁波是横波，E 和 B 相互垂直且同相位，E=cB
电磁波能量均匀分配在电场和磁场中
电磁波谱覆盖极宽的频率范围，可见光仅占极小一部分

第8章声波

8.1 声波的基本概念

什么是声波

声波是机械纵波，由物体振动引起周围介质（通常为空气）的压缩和膨胀，以疏密波的形式传播。

传播介质：气体、液体、固体（真空中不能传播）
波的类型：纵波（质点振动方向与传播方向平行）
人耳可听频率：20 Hz∼20000 Hz（约 20 kHz）

声速

声波在不同介质中的传播速度不同：

介质（20°C）	声速（m/s）
空气	343
水	1480
钢铁	5000

气体中的声速公式：

v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}

其中 γ 为绝热指数，R 为气体常数，T 为绝对温度，M 为摩尔质量。

直观情景：雷雨天先看到闪电后听到雷声，就是因为光速远大于声速。通过"看到闪电"到"听到雷声"的时间差，可以估算闪电的距离（每3秒约1公里）。

8.2 声波的特性

声压

声波传播时，介质中的压强会在平衡压强附近周期性变化，这个变化量称为声压。

声强（响度）

声强是声波的平均能流密度：

I = \frac{1}{2}\rho v \omega^2 A^2

其中 A 为质点的振幅。

声强级（分贝，dB）：

L = 10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \quad \text{(dB)}

其中参考声强 $I_0 = 10^{-12}$ W/m²（人耳的听阈）。

声音	声强级（dB）
听阈	0
轻声交谈	30~40
正常交谈	50~60
繁忙街道	70~80
摇滚音乐会	110~120
痛阈	130

音色

音色由声波的波形（频谱成分）决定。同一个音高（频率），不同的乐器听起来不同，就是因为它们的谐波成分不同。

8.3 超声波

超声波是频率高于人耳听觉上限（>20 kHz）的声波。

超声波的特点

波长短：频率高 → 波长短 → 方向性好，可聚焦
穿透力强：在固体和液体中传播时衰减较小
反射明显：在不同介质的界面处反射强烈

超声波的应用

上图中：

上图：次声波（蓝色）、人耳可听声波（绿色）、超声波（红色）的频率范围对比
下图：超声波的几种典型应用及其频率范围

具体应用：

医学超声成像（1~20 MHz）：B超、彩超、心脏超声等，利用超声波在人体组织中的反射成像
工业无损检测（0.5~25 MHz）：检测金属内部的裂纹、气孔等缺陷
超声波清洗（20~500 kHz）：利用空化效应清洗精密器件
声呐（10~100 kHz）：水下探测、测距、鱼群探测

8.4 次声波

次声波是频率低于人耳听觉下限（<20 Hz）的声波。

次声波的特点

波长极长：可达数百米到数千米
衰减极小：可传播数千公里而不明显衰减
穿透力极强：可穿透建筑物和地层

次声波的来源

自然来源：地震、火山爆发、台风、海浪
人为来源：大型机械振动、爆炸、核试验

次声波的应用

地震预警：次声波比地震波传播更快
气象预报：监测台风和风暴
核爆监测：监测地下和大气层核试验

注意：虽然人耳听不到次声波，但高强度的次声波会对人体产生不良影响（头晕、恶心、内脏不适等）。

8.5 驻波在声学中的应用

乐器

弦乐器：弦的两端固定，形成驻波，基频 $f_1 = \frac{v}{2L}$
管乐器（开口管）：两端为腹点， $f_n = \frac{nv}{2L}$
管乐器（闭口管）：一端节点一端腹点， $f_n = \frac{(2n-1)v}{4L}$

房间声学

房间的墙壁反射声波，形成驻波模式。这会导致某些频率在特定位置被增强（驻波腹点）或减弱（驻波节点），影响房间的音质。

本章小结：

声波是机械纵波，人耳可听频率为 20 Hz ~ 20 kHz
超声波（>20 kHz）波长短、方向性好，广泛应用于医学和工业
次声波（<20 Hz）波长长的、衰减极小，可用于地震预警等
声强级用分贝（dB）表示，参考值为 10⁻¹² W/m²

波动

第1章 机械波的基本概念

1.1 机械波的形成

1.2 横波与纵波

横波（Transverse Wave）

纵波（Longitudinal Wave）

1.3 波长、周期和频率、波速

波长 λ

周期 T 与频率 f

波速 v

参数关系可视化

波速与介质的关系

第2章 波线、波面、波前与波函数

2.1 波线、波面、波前

波面（Wave Surface）

波前（Wave Front）

波线（Wave Ray）

波的分类（按波面形状）

2.2 简谐波的波函数

从简谐振动到简谐波

沿负方向传播

波函数动画演示

2.3 波函数的物理意义

（1）固定时刻 t=t0​：波形曲线

（2）固定位置 x=x0​：振动曲线

（3）三维视角

波函数的核心参数总结

第3章 波动的能量

3.1 波动能量的传播

质元的动能与势能

关键发现

能量密度分布可视化

3.2 能流与能流密度

能流（Energy Flow）

能流密度（Intensity）

重要结论

能流密度可视化

3.3 球面波的强度衰减

第4章 惠更斯原理与波的衍射

4.1 惠更斯原理

原理要点

直观情景

惠更斯-菲涅耳原理

4.2 波的衍射

什么是衍射

衍射条件

衍射动画演示

单缝衍射

衍射的物理意义

第5章 波的干涉与驻波

5.1 波的干涉

波的叠加原理

干涉条件

干涉的结果

干涉可视化

双缝干涉

5.2 驻波

驻波的形成

驻波的特点

节点与腹点

5.3 相位突变（半波损失）

5.4 驻波的能量

5.5 简正模式

两端固定的弦

简正模式可视化

管乐器中的简正模式

第6章 多普勒效应

6.1 多普勒效应的概念

6.2 基本原理

波源静止，观察者运动

波源运动，观察者静止

波源和观察者同时运动

6.3 多普勒效应可视化

6.4 应用

6.5 电磁波的多普勒效应

第7章 电磁波

7.1 电磁波的产生与传播

麦克斯韦方程组

电磁波的产生条件

7.2 平面电磁波的特性

第1章机械波的基本概念

第2章波线、波面、波前与波函数

（1）固定时刻 t=t0：波形曲线

（2）固定位置 x=x0：振动曲线

第3章波动的能量

第4章惠更斯原理与波的衍射

第5章波的干涉与驻波

第6章多普勒效应

第7章电磁波

第8章声波