第1章相干光

1.1 问题的提出

在力学和电磁学中，我们已经建立了波的叠加原理：两列波在同一空间区域传播时，合振动等于各分振动的矢量和。对于光波这一电磁波而言，叠加原理自然引出一个问题：

两束光叠加时，是否也会产生干涉现象——即空间中某些位置始终加强、某些位置始终减弱，形成稳定的明暗条纹？

日常经验告诉我们：打开两盏灯照亮同一面墙，墙面只是更亮一些，并不会出现明暗相间的条纹。这说明普通光源发出的光直接叠加不产生干涉。要理解这一现象的本质原因，必须深入考察光源的发光机制以及光波的相干性质。

本章将从原子发光的微观机制出发，建立相干性的严格理论框架，为后续干涉、衍射现象的定量分析奠定基础。

1.2 原子发光机制与波列

1.2.1 自发辐射的微观图像

普通光源（热光源如白炽灯、气体放电光源如钠灯等）的发光源于大量原子的自发辐射（spontaneous emission）。根据玻尔的原子模型和量子理论，自发辐射过程如下：

原子吸收能量（热激发、碰撞激发等）后从基态跃迁至激发态
激发态为不稳定态，原子在极短时间内（约 $\tau \sim 10^{-8}\,\text{s}$ ）自发地从高能级 E2 跃迁至低能级 E1
跃迁过程中释放一个光子，其频率由玻尔频率条件确定：

\nu = \frac{E_2 - E_1}{h} \tag{1-1}

其中 h 为普朗克常量。

关键性质：

独立性：大量原子中的每一个原子的跃迁时刻、辐射方向、振动面取向、初相位都是完全独立、随机的
有限持续时间：每次辐射并非产生无限长的简谐振动，而是持续有限时间 τ 的波列（wave train）
频率展宽：由于测不准关系 $\Delta E \cdot \tau \geq \hbar/2$ ，能级本身的宽度以及多普勒效应、碰撞展宽等因素，使得实际辐射的光并非严格单色，而是具有一定的谱线宽度 Δν

1.2.2 波列的数学描述

一个原子在 t0 时刻开始辐射，持续时间为 τ，其发出的电场可近似描述为：

E(t) = E_0\, g(t - t_0) \cos(\omega_0 t + \varphi_0) \tag{1-2}

其中 g(t) 为包络函数，描述波列的振幅随时间的变化。常用模型有：

矩形包络：g(t)=1（0<t<τ），其余为零
指数衰减包络： $g(t) = e^{-t/\tau}$ （t>0）
高斯包络： $g(t) = e^{-t^2/(2\tau^2)}$

无论采用何种包络模型，波列的核心特征是有限持续时间。一个波列在真空中传播的距离称为波列长度（或相干长度）：

L_c = c\tau \tag{1-3}

对于普通光源，τ∼10⁻⁸ s，故 Lc≈3m。而对于激光光源，τ 可达 10⁻⁶∼10⁻³ s 量级，相干长度可达数百米甚至数千米。

上图展示了三个原子各自在不同时刻发射的波列。即使中心频率相同，各波列的初相位完全独立，波列之间不存在固定的相位关系。

1.2.3 光源宏观发光的统计性质

普通光源中约有 10²⁰ 个原子同时在发光，宏观观测到的光场是所有原子辐射的叠加。设第 j 个原子在 tj 时刻发射的波列为：

E_j(t) = E_{0j}\, g(t - t_j) \cos(\omega_0 t + \varphi_j)

则总光场为：

E(t) = \sum_j E_j(t) \tag{1-4}

由于各 tj、φj 完全随机，E(t) 的相位在极短时间内发生无规则跳变。宏观上观测到的光强（光探测器响应的物理量）为电场平方的时间平均：

I = \langle E^2(t) \rangle_t = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_0^T E^2(t)\,dt \tag{1-5}

这里的时间平均窗口 T 远大于光振动周期（T≫2π/ω0），也远大于波列持续时间 τ。

1.3 相干条件

1.3.1 两列光波叠加的一般处理

考虑两列光波在某点叠加：

E_1(t) = E_{01} \cos(\omega_1 t + \varphi_1), \quad E_2(t) = E_{02} \cos(\omega_2 t + \varphi_2) \tag{1-6}

合振动为：

E(t) = E_1(t) + E_2(t) \tag{1-7}

合光强为：

\begin{array}{rl} I &= \langle E^2(t) \rangle_t \\[6pt] &= \langle E_1^2 \rangle_t + \langle E_2^2 \rangle_t + 2\langle E_1 E_2 \rangle_t \\[6pt] &= I_1 + I_2 + 2\langle E_1 E_2 \rangle_t \end{array} \tag{1-8}

其中交叉项：

\langle E_1 E_2 \rangle_t = E_{01}E_{02} \langle \cos(\omega_1 t + \varphi_1)\cos(\omega_2 t + \varphi_2) \rangle_t \tag{1-9}

利用三角恒等式：

\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]

得到：

\langle E_1 E_2 \rangle_t = \frac{E_{01}E_{02}}{2} \left[ \langle \cos((\omega_1+\omega_2)t + \varphi_1+\varphi_2) \rangle_t + \langle \cos((\omega_1-\omega_2)t + \varphi_1-\varphi_2) \rangle_t \right] \tag{1-10}

1.3.2 相干条件的严格推导

（1）频率条件

当 ω1=ω2 时，(ω1−ω2)=0，交叉项中 cos((ω1−ω2)t+⋯) 随时间快速振荡，其时间平均为零：

\langle \cos((\omega_1-\omega_2)t + \Delta\varphi) \rangle_t = 0

故 I=I1+I2，无干涉效应。

当 ω1=ω2=ω 时，差频项变为常数：

\langle \cos(\varphi_1 - \varphi_2) \rangle_t = \cos(\Delta\varphi)

此时交叉项不消失，可能出现干涉。

（2）振动方向条件

以上推导假设 E1 和 E2 沿同一方向振动（标量叠加）。一般情况下，光波的电场是矢量：

\boldsymbol{E}_1 = \boldsymbol{E}_{01} \cos(\omega t + \varphi_1), \quad \boldsymbol{E}_2 = \boldsymbol{E}_{02} \cos(\omega t + \varphi_2)

光强正比于电场矢量的平方：

\begin{array}{rl} I &\propto \langle |\boldsymbol{E}_1 + \boldsymbol{E}_2|^2 \rangle_t \\[6pt] &= \langle |\boldsymbol{E}_1|^2 \rangle_t + \langle |\boldsymbol{E}_2|^2 \rangle_t + 2\langle \boldsymbol{E}_1 \cdot \boldsymbol{E}_2 \rangle_t \\[6pt] &= I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos\theta \cos(\Delta\varphi) \end{array} \tag{1-11}

其中 θ 为两振动方向之间的夹角。当 θ=π/2（振动方向正交）时，cosθ=0，干涉项消失。

因此，两列光必须有相同的振动方向（或至少存在平行的振动分量），才能产生干涉。

（3）相位差恒定条件

即使 ω1=ω2 且振动方向相同，还需要相位差 Δφ=φ2−φ1 在观测时间内保持恒定（或变化足够缓慢），否则 ⟨cos(Δφ)⟩t=0，干涉项消失。

注意：这里的"恒定"是指在探测器的响应时间内保持不变。普通光源中不同原子的初相位 φjφj 随机变化，变化的时间尺度约 10⁻⁸ s，远小于人眼或普通光探测器的响应时间（约 10⁻² s），因此宏观上观测不到干涉。

1.3.3 相干条件的总结

两列光波叠加产生稳定干涉图样的充要条件：

条件	数学表述	物理含义
频率相同	ω1=ω2	否则相位差随时间变化
振动方向相同	E01∥E02	否则干涉项减弱或消失
相位差恒定	Δφ=const	否则时间平均后干涉项为零

满足以上条件的光波称为相干光（coherent light）。

1.4 相干叠加与非相干叠加的定量比较

1.4.1 非相干叠加

设两列非相干光在某点叠加，其相位差 Δφ(t) 在观测时间 T 内随机变化，可认为在 [0,2π] 上均匀分布。此时：

\langle \cos(\Delta\varphi) \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos(\Delta\varphi)\,d(\Delta\varphi) = 0 \tag{1-12}

故合强度为：

I_{\text{incoh}} = I_1 + I_2 \tag{1-13}

非相干叠加：总强度等于各分强度之和，不产生干涉条纹。

1.4.2 相干叠加

设两列相干光：

E_1 = E_{01} \cos(\omega t + \varphi_1), \quad E_2 = E_{02} \cos(\omega t + \varphi_2)

合振幅：

E = E_1 + E_2 = E_0 \cos(\omega t + \varphi)

其中合振幅 $E_0$ 和合相位 $\varphi$ 由下式确定：

E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2E_{01}E_{02}\cos(\Delta\varphi) \tag{1-14}

\tan\varphi = \frac{E_{01}\sin\varphi_1 + E_{02}\sin\varphi_2}{E_{01}\cos\varphi_1 + E_{02}\cos\varphi_2} \tag{1-15}

合光强 $I \propto E_0^2$ 。设 $I_1 \propto E_{01}^2$ ， $I_2 \propto E_{02}^2$ ，则：

I_{\text{coh}} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta\varphi) \tag{1-16}

当 $I_1 = I_2 = I_0$ 时：

I_{\text{coh}} = 2I_0[1 + \cos(\Delta\varphi)] = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) \tag{1-17}

关键结论：

当 Δφ=2kπ（k=0,±1,±2,…）时，Imax=4I0（相长干涉）
当 Δφ=(2k+1)π 时，Imin=0（相消干涉）
合强度的取值范围为 [0,4I0]，而两束非相干光叠加的强度恒为 2I0

1.4.3 对比分析

叠加类型	合强度公式	极值	特点
非相干	I=I1+I2	无变化	均匀照明
相干（等强度）	$I = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$	Imax=4I0, Imin=0	明暗条纹

1.5 时间相干性与空间相干性

1.5.1 时间相干性

定义：时间相干性描述同一光源在不同时刻发出的光波之间维持确定相位关系的程度。

考虑光源在 t 和 t+τ 两个时刻发出的波列。它们之间的相位关系用自相干函数（自相关函数）描述：

\Gamma(\tau) = \langle E^*(t) E(t+\tau) \rangle_t \tag{1-18}

归一化的自相干函数称为复相干度：

\gamma(\tau) = \frac{\Gamma(\tau)}{\Gamma(0)} = \frac{\langle E^*(t) E(t+\tau) \rangle_t}{\langle |E(t)|^2 \rangle_t} \tag{1-19}

∣γ(τ)∣ 的取值范围为 [0,1]，反映了时间间隔为 τ 的两列光之间的相干程度：

∣γ(0)∣=1（完全相干）
∣γ(τ)∣→0（当 ττ 远大于相干时间时，完全不相干）

相干时间 τc 定义为 ∣γ(τ)∣ 显著不为零的时间范围。对于洛伦兹线型的光源：

|\gamma(\tau)| = e^{-|\tau|/\tau_c} \tag{1-20}

相干长度 Lc 为相干时间内光传播的距离：

L_c = c \tau_c \tag{1-21}

1.5.2 时间相干性与单色性的关系

根据傅里叶分析，有限持续时间 τc 的波列在频域上对应一定的谱线宽度 Δν。二者满足傅里叶变换不确定关系：

\Delta\nu \cdot \tau_c \sim 1 \tag{1-22}

利用 $c = \lambda\nu$ ，可得：

\tau_c \sim \frac{1}{\Delta\nu}, \quad L_c = c\tau_c \sim \frac{c}{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda} \tag{1-23}

结论：光源的单色性越好（Δλ 越小），相干长度越长，时间相干性越好。

1.5.3 空间相干性

定义：空间相干性描述光源上不同空间点发出的光之间的相干程度。

考虑一个宽度为 b 的扩展光源（非点光源），光源上各点独立发光。在距离 R 处的观察平面上，来自光源两端的子波之间的相位差决定了该处两点的相干性。

对于扩展光源，在距离 R 处，能产生干涉的两点之间的最大间距（相干宽度）为：

d_c \approx \frac{\lambda R}{b} \tag{1-24}

或等价地，从扩展光源发出的光，在距离 $R$ 处能够产生干涉的最大张角（相干角）为：

\theta_c \approx \frac{\lambda}{b} \tag{1-25}

结论：

光源越宽（b 越大），空间相干性越差
对于点光源（b→0），空间相干性最好
这就是杨氏双缝实验中需要使用单缝（或针孔）来获得空间相干光的原因

1.6 获得相干光的方法

由于普通光源各原子独立发光，直接从光源分出两束光通常无法满足相干条件。实验上获得相干光的基本思路是：

将同一波列"一分为二"，使它们经过不同路径后再相遇。

由于这两束光来自同一波列，它们的频率自然相同，相位差由路径差决定（固定不变），从而满足相干条件。

具体实现方法分为两类：

1.6.1 分波阵面法（division of wavefront）

从同一波阵面上取出两部分作为相干光源。

杨氏双缝干涉：利用两个狭缝从同一波阵面分出两束光
菲涅耳双面镜：利用两块倾斜的平面镜
洛埃镜：利用平面镜的反射获得虚光源
菲涅耳双棱镜：利用双棱镜的折射

这类方法的特点是：两束相干光来自波阵面的不同部分，适用于点光源或线光源。

1.6.2 分振幅法（division of amplitude）

利用薄膜的反射和折射，将同一入射光的振幅分为两部分（或多部分）。

薄膜干涉：利用薄膜上下表面的反射光
迈克尔逊干涉仪：利用分束镜将一束光分为两束
法布里-珀罗干涉仪：利用平行平面板的多光束干涉

这类方法的特点是：两束（或多束）相干光来自同一入射光，但经过不同的光学路径，适用于扩展光源。

本章小结

核心公式

相干叠加的强度公式：
$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos(\Delta\varphi)$
等强度相干叠加：
$I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right)$
相干长度与单色性的关系：
$L_c = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}$
空间相干宽度：
$d_c \approx \frac{\lambda R}{b}$

概念要点

普通光源的原子自发辐射产生有限长的波列，各波列之间相位随机
获得相干光的核心思路：分波阵面法或分振幅法
时间相干性由光源单色性决定，限制最大允许光程差
空间相干性由光源尺寸决定，限制可干涉光束的横向分离

下一章将详细讨论分波阵面法的经典实验——杨氏双缝干涉，给出条纹位置、间距的严格推导。

第2章杨氏双缝干涉

2.1 实验装置

1801 年，英国物理学家托马斯·杨（Thomas Young）首次用实验证明了光的波动性。其实验装置如图 2-1 所示：

实验装置包含以下部分：

单色光源 S：通常使用钠灯或激光。光源 S 发出的光照射到单缝 S₀ 上
单缝 S₀：起两个作用——
- 提供线光源，使光在垂直于纸面的方向上具有平移对称性（便于分析）
- 作为次级光源，其宽度足够小以获得良好的空间相干性
双缝 S₁、S₂：与 S₀ 平行、等距对称分布的两条狭缝，缝间距为 d（通常约 0.1~1 mm）
观察屏幕：置于双缝后方距离 D 处（通常 D≫d，约 1~2 m）

实验现象：屏幕上出现一系列等间距的明暗相间条纹，条纹方向平行于双缝方向。

2.2 光程差推导

2.2.1 几何关系

取坐标系如图：双缝中心为原点 O，屏幕沿 y 方向，x 方向垂直于纸面（对称方向）。

设 P 为屏幕上一点，其坐标为 (D,y)。从 S₁ 和 S₂ 到 P 点的距离分别为：

r_1 = \sqrt{D^2 + \left(y - \frac{d}{2}\right)^2} \tag{2-1}

r_2 = \sqrt{D^2 + \left(y + \frac{d}{2}\right)^2} \tag{2-2}

光程差为：

\delta = r_2 - r_1 \tag{2-3}

2.2.2 远场近似

实验条件满足 D≫d 且 D≫y（观察范围有限），因此可采用近似。

方法一：二项式展开

\begin{array}{rl} r_1 &= D\sqrt{1 + \left(\dfrac{y - d/2}{D}\right)^2} \\[6pt] &\approx D\left[1 + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y - d/2}{D}\right)^2\right] \\[6pt] &= D + \dfrac{(y - d/2)^2}{2D} \end{array} \tag{2-4}

同理：

r_2 \approx D + \frac{(y + d/2)^2}{2D} \tag{2-5}

因此：

\begin{array}{rl} \delta &= r_2 - r_1 \\[6pt] &\approx \dfrac{(y + d/2)^2 - (y - d/2)^2}{2D} \\[6pt] &= \dfrac{4y \cdot d/2}{2D} \\[6pt] &= \dfrac{yd}{D} \end{array} \tag{2-6}

方法二：角度表示

设从双缝中心到 P 点的连线与中心轴线（x 轴）的夹角为 θ，则：

\sin\theta = \frac{y}{\sqrt{D^2 + y^2}} \approx \frac{y}{D} \tag{2-7}

光程差：

\delta = d \sin\theta \approx \frac{yd}{D} \tag{2-8}

注意：式 (2-6) 和式 (2-8) 是等价的，在 D≫y 条件下 sinθ≈tanθ≈y/D。

2.2.3 相位差

光程差对应的相位差为：

\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \delta = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{yd}{D} = \frac{2\pi yd}{\lambda D} \tag{2-9}

其中 λ 为光在介质中的波长。若实验在空气中进行，λ≈λ0（真空波长）。

2.3 明暗条纹条件

2.3.1 干涉强度公式

设从 S₁ 和 S₂ 发出的光到达 P 点的振幅相等（E01=E02=E0E01=E02=E0），相位差为 ΔφΔφ，则 P 点的合振幅为：

E = 2E_0 \cos\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) \tag{2-10}

合光强：

I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \delta}{\lambda}\right) \tag{2-11}

其中 $I_0 \propto E_0^2$ 为单缝单独存在时在该点产生的光强。

将式 (2-6) 代入：

I(y) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi yd}{\lambda D}\right) \tag{2-12}

2.3.2 明纹（相长干涉）条件

当 $\cos^2$ 取最大值时，即：

\frac{\pi yd}{\lambda D} = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots

得明纹位置：

y_k = k \frac{\lambda D}{d}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{2-13}

对应的光程差条件：

\delta = k\lambda, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{2-14}

k=0：中央明纹，位于屏幕中心 y=0
k=±1,±2,…：第 ∣k∣ 级明纹，对称分布于中央明纹两侧

2.3.3 暗纹（相消干涉）条件

当 cos⁡² 取零值时，即：

\frac{\pi yd}{\lambda D} = \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots

得暗纹位置：

y_k = \left(k + \frac{1}{2}\right) \frac{\lambda D}{d}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{2-15}

对应的光程差条件：

\delta = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{2-16}

2.4 条纹间距

相邻两级明纹（或暗纹）之间的距离称为条纹间距（或条纹宽度）：

\begin{array}{rl} \Delta y &= y_{k+1} - y_k \\[6pt] &= (k+1)\dfrac{\lambda D}{d} - k\dfrac{\lambda D}{d} \\[6pt] &= \dfrac{\lambda D}{d} \end{array} \tag{2-17}

条纹间距公式：

\Delta y = \frac{\lambda D}{d} \tag{2-18}

2.4.1 条纹间距的物理意义

由式 (2-18) 可知：

参数	变化	条纹间距变化	物理解释
波长 λ	增大	Δy 增大	红光条纹比蓝光宽
缝距 d	增大	Δy 减小	缝距越大条纹越密
屏距 D	增大	Δy 增大	屏幕越远条纹越稀疏

2.4.2 数值估计

取典型实验参数：λ=589nm（钠黄光），d=0.5mm，D=1m：

\Delta y = \frac{589 \times 10^{-9} \times 1}{0.5 \times 10^{-3}} \approx 1.18\,\text{mm}

条纹间距约 1 mm 量级，人眼可以分辨。

2.4.3 白光干涉

若使用白光光源，由于不同波长的条纹间距不同：

\Delta y(\lambda) = \frac{\lambda D}{d}

中央明纹 (k=0)：所有波长的光程差均为零，各色光叠加为白色
两侧条纹：不同波长的明纹位置不同，形成彩色条纹
- 内侧（靠近中央）偏蓝紫色（λ 小，Δy 小）
- 外侧偏红色（λ 大，Δy 大）
高级次条纹：各色光重叠严重，条纹对比度下降，最终消失

2.5 强度分布的详细分析

2.5.1 强度分布曲线

由式 (2-12)，归一化强度分布为：

\frac{I(y)}{4I_0} = \cos^2\left(\frac{\pi yd}{\lambda D}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi y}{\Delta y}\right) \tag{2-19}

这是一个周期为 Δy 的余弦平方函数，其特点是：

明纹和暗纹等间距排列
所有明纹的峰值强度相同（均为 4I0）
暗纹处强度严格为零

2.5.2 与波长的关系

如上图（不同波长对比）所示：

波长越短（蓝光），条纹越密集
波长越长（红光），条纹越稀疏
所有波长的中央明纹位置重合（y=0）

2.5.3 与缝距的关系

如上图（不同缝距对比）所示：

缝距越小，条纹越稀疏
缝距越大，条纹越密集
缝距过大时，条纹间距可能小于人眼分辨极限，条纹无法分辨

2.6 讨论

2.6.1 近似条件的适用范围

上述推导基于远场近似 D≫d。严格的光程差为：

\delta = r_2 - r_1 = \sqrt{D^2 + (y + d/2)^2} - \sqrt{D^2 + (y - d/2)^2} \tag{2-20}

远场近似（式 2-6）的相对误差为：

\varepsilon = \left|\frac{\delta_{\text{exact}} - \delta_{\text{approx}}}{\delta_{\text{exact}}}\right| \approx \frac{y^2}{2D^2} \tag{2-21}

当 D=1m，y=5mm 时， $\varepsilon \approx 1.25 \times 10^{-5}$ ，近似非常好。

2.6.2 非等振幅情况

若两缝的宽度不完全相同，导致 E₀₁≠E₀₂，则：

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta\varphi) \tag{2-22}

此时：

明纹强度： $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$
暗纹强度： $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 > 0$

暗纹不再完全消光，条纹对比度下降。条纹对比度（可见度）定义为：

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} \tag{2-23}

当 I1=I2 时，V=1（对比度最佳）；当 I₁≠I₂ 时，V<1。

2.6.3 缝的有限宽度效应（预告）

以上讨论假设缝为无限窄的线光源。实际上缝具有一定宽度 aa，每条缝本身会产生单缝衍射。双缝干涉的强度分布应修正为：

I = 4I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 \cos^2\alpha \tag{2-24}

其中 $\beta = \pi a \sin\theta / \lambda$ ， $\alpha = \pi d \sin\theta / \lambda$ 。 $(\sin\beta/\beta)^2$ 为单缝衍射的包络函数， $\cos^2\alpha$ 为双缝干涉因子。这一内容将在后续章节详细讨论。

本章小结

核心公式

公式	表达式	说明
光程差	$\delta = \dfrac{yd}{D} = d\sin\theta$	远场近似
相位差	$\Delta\varphi = \dfrac{2\pi\delta}{\lambda}$
强度分布	$I = 4I_0\cos^2\left(\dfrac{\pi yd}{\lambda D}\right)$	等振幅
明纹位置	$y_k = k\dfrac{\lambda D}{d}$	k=0,±1,±2,…
暗纹位置	$y_k = \left(k+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{\lambda D}{d}$	k=0,±1,±2,…
条纹间距	$\Delta y = \dfrac{\lambda D}{d}$	相邻明纹或暗纹间距
条纹可见度	$V = \dfrac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$	非等振幅时

关键概念

杨氏双缝是分波阵面法获得相干光的典型实验
中央明纹 (k=0) 位于屏幕中心，所有波长在此叠加为白色
条纹间距与波长成正比、与缝距成反比
白光干涉产生彩色条纹，高级次条纹因重叠而消失

下一章讨论另一种分波阵面法实验——洛埃镜，它将引入半波损失这一重要概念。

第3章洛埃镜

3.1 实验装置

洛埃镜（Lloyd's mirror）是另一种获得相干光的分波阵面法实验，由英国物理学家汉弗莱·洛埃（Humphrey Lloyd）于 1834 年设计。

实验装置包含以下部分：

单色点光源 S：置于平面镜上方，距镜面高度为 a
平面反射镜：水平放置，长度约数厘米至数十厘米
观察屏幕：置于镜的一端，与镜面垂直，距离光源水平距离为 D

实验现象：屏幕（镜面以上区域）上出现明暗相间的干涉条纹。

关键特征：与杨氏双缝干涉不同，洛埃镜的中央条纹为暗纹而非明纹。这是洛埃镜实验最重要的特征，它直接证明了光在反射时存在半波损失。

3.2 光程差推导

3.2.1 等效双光源模型

洛埃镜的干涉可以等效为双光源干涉：

实光源 S：直接发出的光到达屏幕
虚光源 S'：S 经平面镜反射形成的虚像，位于 S 关于镜面的对称位置

设 S 距镜面的高度为 a，则 S' 距镜面也为 a。两"光源"之间的等效间距为：

d = 2a \tag{3-1}

屏幕上的任一点 P 同时接收到：

直接光：从 S 直接传播到 P
反射光：从 S 发出，经镜面反射后到达 P

这两束光来自同一光源的同一波列，满足相干条件。

3.2.2 几何关系

建立坐标系：以 S 在镜面上的投影为原点，x 轴沿镜面向右，y 轴垂直向上。

S 的坐标：(0,a)
S' 的坐标：(0,−a)
P 的坐标：(D,y)（y>0，在镜面以上）

直接光的光程：

r_1 = \sqrt{D^2 + (y - a)^2} \tag{3-2}

反射光的光程（等效为从 S' 到 P）：

r_2 = \sqrt{D^2 + (y + a)^2} \tag{3-3}

3.2.3 光程差

几何光程差：

\delta_{\text{geo}} = r_2 - r_1 \tag{3-4}

在 $D \gg a$ 且 $D \gg y$ 的远场条件下，采用与杨氏双缝相同的近似：

\begin{array}{rl} r_1 &\approx D + \dfrac{(y - a)^2}{2D} \\[6pt] r_2 &\approx D + \dfrac{(y + a)^2}{2D} \end{array}

\delta_{\text{geo}} \approx \frac{(y + a)^2 - (y - a)^2}{2D} = \frac{4ay}{2D} = \frac{2ay}{D} \tag{3-5}

利用等效缝距 $d = 2a$ ：

\delta_{\text{geo}} = \frac{yd}{D} \tag{3-6}

3.2.4 半波损失

关键修正：光从光疏介质（空气，n1≈1）射向光密介质（玻璃镜，n2>n1）时，在反射过程中会产生半波损失（half-wave loss）。

半波损失：当光从光疏介质入射到光密介质界面并发生反射时，反射光相对入射光产生 π 的相位突变，等效于附加了 λ/2 的光程差。

因此，总光程差为：

\delta = \delta_{\text{geo}} + \frac{\lambda}{2} = \frac{yd}{D} + \frac{\lambda}{2} \tag{3-7}

注意：半波损失只发生在反射光上，直接光没有反射，因此没有半波损失。总光程差中只需考虑一次半波损失。

3.3 明暗条纹条件

3.3.1 明纹条件

相长干涉条件：总光程差为波长的整数倍

\delta = \frac{yd}{D} + \frac{\lambda}{2} = k\lambda, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

得明纹位置：

y_k = \left(k - \frac{1}{2}\right) \frac{\lambda D}{d}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots \tag{3-8}

3.3.2 暗纹条件

相消干涉条件：总光程差为半波长的奇数倍

\delta = \frac{yd}{D} + \frac{\lambda}{2} = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

得暗纹位置：

y_k = k \frac{\lambda D}{d}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \tag{3-9}

3.3.3 与杨氏双缝的对比

特征	杨氏双缝	洛埃镜
光程差	δ=yd/D	δ=yd/D+λ/2
中央 (y=0)	δ=0，明纹	δ=λ/2，暗纹
明纹条件	δ=kλ	δ=kλ
明纹位置	yk=kλD/d	yk=(k−1/2)λD/d
暗纹条件	δ=(k+1/2)λ	δ=(k+1/2)λ
暗纹位置	yk=(k+1/2)λD/d	yk=kλD/d
条纹间距	Δy=λD/d	Δy=λD/d

核心结论：洛埃镜与杨氏双缝的条纹间距完全相同，但条纹位置整体平移了半个条纹间距——明暗位置互换。

3.3.4 强度分布

考虑半波损失后，P 点的合振幅为：

E = E_0 e^{i\omega t} + E_0 e^{i(\omega t + \Delta\varphi + \pi)} = E_0(1 - e^{i\Delta\varphi}) e^{i\omega t}

其中 $\Delta\varphi = 2\pi\delta_{\text{geo}}/\lambda = 2\pi yd/(\lambda D)$ 为几何光程差对应的相位差，π 为半波损失对应的相位突变。

合光强：

\begin{array}{rl} I &= |E|^2 = E_0^2 |1 - e^{i\Delta\varphi}|^2 \\[6pt] &= E_0^2 (1 - e^{i\Delta\varphi})(1 - e^{-i\Delta\varphi}) \\[6pt] &= E_0^2 (2 - e^{i\Delta\varphi} - e^{-i\Delta\varphi}) \\[6pt] &= 2E_0^2 (1 - \cos\Delta\varphi) \\[6pt] &= 4E_0^2 \sin^2\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) \end{array}

即：

I = 4I_0 \sin^2\left(\frac{\pi yd}{\lambda D}\right) \tag{3-10}

对比杨氏双缝的 $I = 4I_0 \cos^2(\pi yd/\lambda D)$ ，可见洛埃镜的强度分布恰好是杨氏双缝的互补—— $\cos^2$ 换为 $\sin^2$ 。

3.4 半波损失的深入讨论

3.4.1 物理起源

半波损失的本质是电磁波在介质界面反射时的菲涅耳公式所决定的。

考虑光从介质 1（折射率 n1）入射到介质 2（折射率 n2），反射系数 r 由菲涅耳公式给出。对于垂直入射：

r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \tag{3-11}

当 n1<n2（光疏 →→ 光密）：r<0，反射波与入射波反相，即相位改变 π ⇒⇒ 有半波损失
当 n1>n2（光密 →→ 光疏）：r>0，反射波与入射波同相 ⇒⇒ 无半波损失

洛埃镜实验中，光从空气 (n1≈1) 入射到玻璃 (n2≈1.5)，满足 n1<n2，因此反射光有半波损失。

3.4.2 实验验证

洛埃镜实验本身就是一个验证半波损失的经典实验：

如果不存在半波损失，洛埃镜的中央条纹应为明纹（与杨氏双缝相同）
实验观测到中央为暗纹，直接证明了半波损失的存在

这是历史上第一次通过干涉实验直接证实了光在反射时存在相位突变。

3.4.3 半波损失的条件总结

反射情况	折射率关系	半波损失
光疏 →→ 光密（如空气 →→ 玻璃）	n1<n2	有 (λ/2)
光密 →→ 光疏（如玻璃 →→ 空气）	n1>n2	无
金属表面反射	—	通常有（与波长和金属种类有关）

3.5 条纹的可见区域

3.5.1 几何限制

洛埃镜的干涉条纹只出现在镜面以上的区域（y>0），原因如下：

直接光只能照射到镜面以上
反射光也只能到达镜面以上

因此，洛埃镜的干涉图样只有杨氏双缝的一半（上半部分）。

3.5.2 镜面长度的限制

设镜面长度为 L，光源到镜面近端的距离为 l1，到远端的距离为 l2=l1+L。屏幕上能看到干涉条纹的区域为：

y_{\min} \approx \frac{a D}{l_2}, \quad y_{\max} \approx \frac{a D}{l_1} \tag{3-12}

可见条纹区域的高度为：

\Delta y_{\text{visible}} = y_{\max} - y_{\min} = aD\left(\frac{1}{l_1} - \frac{1}{l_1 + L}\right) \tag{3-13}

该区域内包含的条纹数目约为：

N \approx \frac{\Delta y_{\text{visible}}}{\lambda D / d} = \frac{a}{\lambda}\left(\frac{1}{l_1} - \frac{1}{l_1 + L}\right) \cdot 2a = \frac{2a^2 L}{\lambda l_1(l_1 + L)} \tag{3-14}

本章小结

核心公式

公式	表达式	说明
等效缝距	d=2a	a 为光源到镜面距离
几何光程差	$\delta_{\text{geo}} = \dfrac{yd}{D}$	远场近似
总光程差	$\delta = \dfrac{yd}{D} + \dfrac{\lambda}{2}$	含半波损失
明纹位置	$y_k = \left(k - \dfrac{1}{2}\right)\dfrac{\lambda D}{d}$	k=1,2,…
暗纹位置	$y_k = k\dfrac{\lambda D}{d}$	k=0,1,2,…
强度分布	$I = 4I_0\sin^2\left(\dfrac{\pi yd}{\lambda D}\right)$	中央为暗纹
条纹间距	$\Delta y = \dfrac{\lambda D}{d}$	与杨氏双缝相同

关键概念

洛埃镜是分波阵面法的另一种实现，利用平面镜反射产生虚光源
半波损失：光从光疏介质反射到光密介质时，反射光相位突变 π
洛埃镜中央为暗纹，与杨氏双缝的明纹互补
干涉条纹仅出现在镜面以上区域

下一章将讨论缝宽对干涉条纹的影响以及空间相干性的定量分析。

第4章缝宽对条纹的影响与空间相干性

4.1 缝宽对双缝干涉条纹的影响

4.1.1 问题的提出

前两章讨论杨氏双缝和洛埃镜时，我们假设缝是无限窄的线光源。实际上，缝具有有限宽度 a。缝宽的影响体现在两个方面：

每条缝本身会产生单缝衍射：光通过有限宽度的缝时，不再均匀地向各方向传播，而是形成衍射图样
光源 S₀ 的宽度影响空间相干性：若光源缝 S₀ 过宽，其不同部分发出的光到达双缝的相位差不一致，导致条纹对比度下降

本章分别讨论这两种效应。

4.1.2 单缝衍射包络

考虑每条缝的宽度为 a。光通过单缝产生的夫琅禾费衍射强度分布为（详细推导见后续衍射章节）：

I_{\text{diff}}(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 \tag{4-1}

其中：

\beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda} \approx \frac{\pi a y}{\lambda D} \tag{4-2}

$y$ 为屏幕上的位置， $D$ 为缝到屏幕的距离。

4.1.3 双缝干涉 × 单缝衍射

实际双缝干涉的强度分布是干涉因子与衍射包络的乘积：

I(\theta) = 4I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 \cos^2\alpha \tag{4-3}

其中：

\alpha = \frac{\pi d \sin\theta}{\lambda} \approx \frac{\pi d y}{\lambda D} \tag{4-4}

物理图像：

$\cos^2\alpha$ ：双缝干涉因子，决定条纹的精细结构（等间距的明暗条纹）
$(\sin\beta/\beta)^2$ ：单缝衍射包络，调制干涉条纹的总体强度分布

4.1.4 缺级现象

当衍射因子为零时，即使干涉因子为极大，该处的总强度也为零。这种现象称为缺级（missing order）。

衍射极小条件：

\beta = m\pi \quad (m = \pm 1, \pm 2, \ldots)

\frac{\pi a y}{\lambda D} = m\pi \Rightarrow y = m \frac{\lambda D}{a} \tag{4-5}

干涉极大条件：

\alpha = k\pi \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)

\frac{\pi d y}{\lambda D} = k\pi \Rightarrow y = k \frac{\lambda D}{d} \tag{4-6}

当两式同时满足时：

m \frac{\lambda D}{a} = k \frac{\lambda D}{d} \Rightarrow \frac{k}{m} = \frac{d}{a} \tag{4-7}

即：当干涉级次 k 与衍射级次 m 之比等于缝距与缝宽之比时，第 k 级明纹缺级。

特别地，当 d/a 为整数时，第 d/a、2d/a、3d/a、…… 级明纹缺级。

例如 d=5a 时，第 5、10、15、…… 级明纹消失。

4.1.5 缝宽对中央主极大的影响

单缝衍射的中央主极大范围（两个一级极小之间）为：

-\frac{\lambda D}{a} < y < \frac{\lambda D}{a} \tag{4-8}

该范围内包含的干涉明纹数目约为：

N \approx \frac{2\lambda D/a}{\lambda D/d} = \frac{2d}{a} \tag{4-9}

缝越窄（a 越小），衍射中央主极大越宽，包含的干涉条纹越多。反之，缝较宽时，只有中央附近的少数几条干涉条纹可见。

4.2 光源宽度与空间相干性

4.2.1 扩展光源的影响

杨氏双缝实验中，前置单缝 S₀ 的作用是提供空间相干光。若 S₀ 的宽度 b 不可忽略，则 S₀ 上不同点可视为独立的次级光源。

考虑 S₀ 上相距为 ξ 的两点，它们发出的光到达双缝 S₁ 和 S₂ 时的相位差不同。设 S₀ 到双缝的距离为 R，则 S₀ 上宽度元 dξ 在屏幕上产生的干涉条纹相对于中心条纹偏移：

\Delta y = \frac{\xi D}{R} \tag{4-10}

整个宽度为 $b$ 的光源产生的总强度为各宽度元贡献的非相干叠加：

I_{\text{total}}(y) = \int_{-b/2}^{b/2} I_0\left[1 + \cos\left(\frac{2\pi d}{\lambda D}(y - \frac{\xi D}{R})\right)\right] d\xi \tag{4-11}

4.2.2 条纹可见度的推导

计算式 (4-11) 的积分：

\begin{array}{rl} I_{\text{total}}(y) &= I_0 \int_{-b/2}^{b/2} \left[1 + \cos\left(\dfrac{2\pi d y}{\lambda D} - \dfrac{2\pi d \xi}{\lambda R}\right)\right] d\xi \\[6pt] &= I_0 b + I_0 \int_{-b/2}^{b/2} \left[\cos\left(\dfrac{2\pi d y}{\lambda D}\right)\cos\left(\dfrac{2\pi d \xi}{\lambda R}\right) + \sin\left(\dfrac{2\pi d y}{\lambda D}\right)\sin\left(\dfrac{2\pi d \xi}{\lambda R}\right)\right] d\xi \end{array}

由于被积函数中 $\sin(2\pi d\xi/\lambda R)$ 是奇函数，其积分项为零。因此：

\begin{array}{rl} I_{\text{total}}(y) &= I_0 b + I_0 \cos\left(\dfrac{2\pi d y}{\lambda D}\right) \int_{-b/2}^{b/2} \cos\left(\dfrac{2\pi d \xi}{\lambda R}\right) d\xi \\[6pt] &= I_0 b + I_0 \cos\left(\dfrac{2\pi d y}{\lambda D}\right) \cdot \dfrac{\lambda R}{\pi d} \left[\sin\left(\dfrac{\pi d b}{\lambda R}\right) - \sin\left(-\dfrac{\pi d b}{\lambda R}\right)\right] \\[6pt] &= I_0 b \left[1 + \dfrac{\sin(\pi d b / \lambda R)}{\pi d b / \lambda R} \cos\left(\dfrac{2\pi d y}{\lambda D}\right)\right] \end{array}

令：

V = \left|\frac{\sin(\pi d b / \lambda R)}{\pi d b / \lambda R}\right| = \left|\text{sinc}\left(\frac{d b}{\lambda R}\right)\right| \tag{4-12}

则：

I_{\text{total}}(y) = I_0 b \left[1 + V \cos\left(\frac{2\pi d y}{\lambda D}\right)\right] \tag{4-13}

4.2.3 可见度的物理意义

式 (4-13) 中，V 即为条纹可见度（visibility）：

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \left|\text{sinc}\left(\frac{d b}{\lambda R}\right)\right| \tag{4-14}

可见度 V 的取值范围为 [0,1]：

V=1：条纹对比度最佳（点光源，b=0）
V=0：条纹完全消失（不相干）

4.2.4 空间相干条件

由式 (4-14)，当 sinc 函数的第一个零点出现时，V=0：

\frac{d b}{\lambda R} = 1 \Rightarrow b = \frac{\lambda R}{d} \tag{4-15}

因此，要观察到清晰的干涉条纹，光源宽度应满足：

b \ll \frac{\lambda R}{d} \tag{4-16}

或等价地，对于给定光源宽度 $b$ ，双缝间距应满足：

d \ll \frac{\lambda R}{b} \tag{4-17}

式 (4-17) 右侧即为第 1 章引入的相干宽度 $d_c$ ：

d_c = \frac{\lambda R}{b} \tag{4-18}

物理结论：

光源越宽（b 越大），空间相干性越差，允许的最大双缝间距越小
这就是杨氏实验中需要使用窄单缝 S₀ 的原因——减小 b，增大 dc
对于扩展光源（如直接照射双缝的太阳光），b 很大，dc 很小，通常观察不到干涉条纹

4.2.5 数值估计

取 λ=550nm，R=0.5m，d=0.5mm：

b_{\max} \approx \frac{\lambda R}{d} = \frac{550 \times 10^{-9} \times 0.5}{0.5 \times 10^{-3}} \approx 0.55\,\text{mm}

即前置单缝 S₀ 的宽度应小于约 0.5 mm，才能观察到清晰的干涉条纹。

本章小结

核心公式

公式	表达式	说明
双缝强度分布	$I = 4I_0\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\cos^2\alpha$	干涉×衍射
衍射因子	$\beta = \dfrac{\pi a y}{\lambda D}$	a 为缝宽
干涉因子	$\alpha = \dfrac{\pi d y}{\lambda D}$	d 为缝距
缺级条件	$\dfrac{k}{m} = \dfrac{d}{a}$	k 为干涉级，m 为衍射级
条纹可见度	$V = \left\|\text{sinc}\left(\dfrac{db}{\lambda R}\right)\right\|$	$b$ 为光源宽
空间相干宽度	$d_c = \dfrac{\lambda R}{b}$	可干涉的最大缝距

关键概念

实际双缝干涉 = 干涉因子 × 衍射包络
缺级：当干涉极大位置恰好落在衍射极小位置时，该级明纹消失
光源宽度 b 增大 ⇒⇒ 条纹可见度 V 下降
当 b≥λR/d 时，条纹完全消失（空间不相干）

下一章讨论光程的概念和透镜不引起附加光程差的重要性质，为薄膜干涉的讨论做准备。

第5章光程与透镜不引起附加光程差

5.1 光程的概念

5.1.1 引入光程的动机

在讨论光的干涉时，我们需要比较两束光到达同一点时的相位差。相位差由光传播的路程和介质的折射率共同决定。

\lambda = \frac{\lambda_0}{n} \tag{5-1}

其中 $\lambda_0$ 为真空中的波长。传播距离 $r$ 内包含的波长数为：

N = \frac{r}{\lambda} = \frac{nr}{\lambda_0} \tag{5-2}

相应的相位变化为：

\Delta\varphi = 2\pi N = \frac{2\pi nr}{\lambda_0} \tag{5-3}

关键观察：相位变化只与乘积 nr 有关，而与 n 和 r 的个别值无关。

5.1.2 光程的定义

定义：光在介质中传播的几何路程 rr 与介质折射率 nn 的乘积，称为光程（optical path length）：

\delta = nr \tag{5-4}

物理意义：光程 δ=nr 等效于光在真空中传播相同相位变化所需的距离。即：

光在折射率为 n 的介质中传播距离 r 所产生的相位变化，与光在真空中传播距离 nr 所产生的相位变化相同。

5.1.3 多段介质的光程

当光依次通过折射率分别为 n1,n2,n3,…、几何路程分别为 r1,r2,r3,… 的多段介质时，总光程为：

\delta = n_1 r_1 + n_2 r_2 + n_3 r_3 + \cdots = \sum_i n_i r_i \tag{5-5}

对于连续变化的折射率 $n(s)$ （沿光线路径 $s$ ），光程为线积分：

\delta = \int n(s)\,ds \tag{5-6}

5.1.4 光程差

两束光到达同一点的光程差为：

\Delta = \delta_2 - \delta_1 \tag{5-7}

对应的相位差为：

\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0} \Delta \tag{5-8}

其中 λ0 为真空中的波长。

上图展示了光依次通过空气、水、玻璃三种介质。总光程 δ=n1r1+n2r2+n3r3 等效于真空中传播的距离。

5.1.5 光程与相位的关系总结

量	表达式	单位
几何路程	r	m
光程	δ=nr	m
相位变化	Δφ=2πδ/λ0	rad
波长数	N=δ/λ0	无量纲

5.2 透镜不引起附加光程差

5.2.1 问题的提出

在干涉实验中经常使用透镜来会聚光线。一个重要的问题是：透镜是否会引入附加的光程差，从而改变干涉图样？

答案是否定的。下面给出严格证明。

5.2.2 证明

考虑一个薄透镜，物点 S 经透镜成像于 S^′。从 S 发出的不同光线经透镜折射后会聚于 S^′。

取三条典型光线：

光线 1：过光心，直线传播
光线 2：平行于主轴入射，经透镜折射后过像点
光线 3：斜入射到透镜边缘，经折射后过像点

要证明：三条光线从 S 到 S^′ 的光程相等。

证明：

根据费马原理（Fermat's principle）：光线沿光程取极值（通常是最小值）的路径传播。

对于从物点 S 到像点 S^′ 的所有实际光线，它们都满足费马原理，即光程取极值。由于所有光线都从 S 出发、会聚于 S^′，它们的光程必须相等（否则就不可能同时满足费马原理）。

具体计算：

设透镜折射率为 n，光线在透镜中的路程为 l，在空气中的路程为 L−l（L 为 S 到 S^′ 的总几何距离）。则光程为：

\delta = (L - l) + nl = L + (n-1)l \tag{5-9}

对于薄透镜，不同光线在透镜中的路程 l 不同（中心光线穿过透镜最厚的部分，边缘光线穿过最薄的部分），但空气中的路程 L−l 也不同。二者恰好补偿，使得总光程 δ 对所有光线都相同。

数学验证（近轴近似下）：

考虑薄透镜的厚度分布。设透镜中心厚度为 $t_0$ ，在距光心 $h$ 处的厚度为：

t(h) = t_0 - \frac{h^2}{2}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \tag{5-10}

其中 $R_1$ 、 $R_2$ 为两表面的曲率半径。

光线通过透镜的光程为：

\delta(h) = [L(h) - t(h)] + n t(h) = L(h) + (n-1)t(h) \tag{5-11}

其中 $L(h)$ 为 $S$ 经 $h$ 处到 $S'$ 的几何路程。在近轴近似下：

L(h) \approx L_0 + \frac{h^2}{2}\left(\frac{1}{s} + \frac{1}{s'}\right) \tag{5-12}

其中 $s$ 为物距， $s'$ 为像距， $L_0 = s + s'$ 为光心处的几何路程。

代入式 (5-11)：

\begin{array}{rl} \delta(h) &= L_0 + \dfrac{h^2}{2}\left(\dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s'}\right) + (n-1)\left[t_0 - \dfrac{h^2}{2}\left(\dfrac{1}{R_1} - \dfrac{1}{R_2}\right)\right] \\[6pt] &= L_0 + (n-1)t_0 + \dfrac{h^2}{2}\left[\dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s'} - (n-1)\left(\dfrac{1}{R_1} - \dfrac{1}{R_2}\right)\right] \end{array}

由薄透镜公式（成像公式）：

\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = \frac{1}{f} \tag{5-13}

因此方括号中的项为零，得：

\delta(h) = L_0 + (n-1)t_0 = \text{const} \tag{5-14}

结论：所有从 S 到 S^′ 的光线光程相等，透镜不引起附加光程差。

5.2.3 重要推论

在干涉实验中使用透镜不会改变干涉条纹的位置和间距。透镜只改变光线的传播方向，不改变光程差。
将观察屏幕放在透镜的焦平面上，等价于将屏幕放在无穷远处。这就是夫琅禾费衍射实验中常用透镜将无穷远衍射图样"拉"到有限距离的原理。
物点和像点之间所有光线的光程相等——这是光学成像的基本性质，保证了像的清晰度（所有光线同相位到达像点）。

5.2.4 注意事项

上述结论的前提是：

薄透镜近似（透镜厚度远小于物距和像距）
近轴近似（光线与主轴夹角很小）
透镜无像差（理想透镜）

在实际情况中，透镜存在像差（球差、彗差等），不同光线的光程会有微小差异，但通常这种差异远小于波长，对干涉的影响可以忽略。

5.3 光程差的应用示例

5.3.1 杨氏双缝中的光程差

在杨氏双缝实验中，若双缝后放置一薄玻璃片（折射率 n，厚度 t），覆盖其中一条缝，则光程差变为：

\delta' = \frac{yd}{D} + (n-1)t \tag{5-15}

附加光程差 (n−1)t 来源于玻璃片的引入：

在空气中传播厚度 t 的光程为 t
在玻璃中传播相同厚度的光程为 nt
附加光程差：nt−t=(n−1)t

条纹整体平移：

\Delta y = \frac{(n-1)t D}{d} \tag{5-16}

5.3.2 薄膜干涉中的光程差

薄膜干涉的光程差计算是光程概念的直接应用。设薄膜折射率为 n，厚度为 e，入射角为 i，折射角为 r，则两束反射光的光程差为：

\delta = 2ne\cos r + \text{半波损失修正} \tag{5-17}

这将在下一章详细讨论。

本章小结

核心公式

公式	表达式	说明
光程	δ=nr	单段介质
多段光程	δ=∑niri
光程差→相位差	Δφ=2πΔ/λ0	λ0 为真空波长
透镜光程相等	δ(h)=L0+(n−1)t0	薄透镜近轴近似
插入介质片	Δδ=(n−1)t	附加光程差

关键概念

光程 =nr：等效于真空中产生相同相位变化的距离
光程差决定干涉条纹的明暗分布
薄透镜不引起附加光程差：所有从物点到像点的光线光程相等
在光路中插入折射率 n、厚度 t 的介质片，附加光程差为 (n−1)t

下一章讨论薄膜干涉，将综合运用光程、半波损失等概念。

第6章薄膜干涉

6.1 薄膜干涉的基本原理

6.1.1 实验现象

当光照射到透明薄膜（如肥皂泡、水面上的油膜、镜头表面的增透膜）时，在反射光和透射光中都可以观察到彩色条纹。这是光在薄膜上下两个表面反射（或折射）后，两束光发生干涉的结果。

6.1.2 光路分析

考虑一束光以入射角 i 照射到厚度为 e、折射率为 n2 的薄膜上。薄膜两侧介质的折射率分别为 n1（上方）和 n3（下方）。

光在薄膜上下表面各发生一次反射和折射，产生多束反射光和透射光。薄膜干涉主要考虑前两束反射光（或前两束透射光）的干涉，因为更高阶的反射光强度迅速衰减。

设：

反射光 1：在上表面（n1/n2 界面）直接反射
反射光 2：折射进入薄膜 → 在下表面（n2/n3 界面）反射 → 再从上表面折射出

这两束反射光来自同一入射光，满足相干条件。

6.2 光程差的严格推导

6.2.1 几何光程差

如上图所示，反射光 2 比反射光 1 多走了薄膜内部的一段路径。设折射角为 r（由斯涅耳定律 n1sini=n2sinr 确定），则反射光 2 在薄膜中的额外路程为：

AB + BC = \frac{e}{\cos r} + \frac{e}{\cos r} = \frac{2e}{\cos r} \tag{6-1}

对应的光程为：

\delta_{\text{film}} = n_2 \cdot \frac{2e}{\cos r} \tag{6-2}

但反射光 1 在空气中多走了一段路程 $AD$ 。由几何关系：

AD = AC \cdot \sin i = 2e \tan r \cdot \sin i \tag{6-3}

利用斯涅耳定律 $\sin i = (n_2/n_1)\sin r$ ：

AD = 2e \tan r \cdot \frac{n_2}{n_1}\sin r = \frac{2n_2 e \sin^2 r}{n_1 \cos r} \tag{6-4}

对应的光程（在介质 1 中）为：

\delta_{\text{air}} = n_1 \cdot AD = \frac{2n_2 e \sin^2 r}{\cos r} \tag{6-5}

6.2.2 净光程差

反射光 1 和反射光 2 之间的净光程差为：

\begin{array}{rl} \delta_{\text{geo}} &= \delta_{\text{film}} - \delta_{\text{air}} \\[6pt] &= \dfrac{2n_2 e}{\cos r} - \dfrac{2n_2 e \sin^2 r}{\cos r} \\[6pt] &= \dfrac{2n_2 e (1 - \sin^2 r)}{\cos r} \\[6pt] &= \dfrac{2n_2 e \cos^2 r}{\cos r} \\[6pt] &= 2n_2 e \cos r \end{array} \tag{6-6}

几何光程差公式：

\delta_{\text{geo}} = 2n_2 e \cos r \tag{6-7}

其中 r 由斯涅耳定律确定： $n_1\sin i = n_2\sin r$ 。

6.2.3 半波损失修正

总光程差还需考虑反射时的半波损失。分情况讨论：

情况 A：n1<n2>n3（如空气-玻璃-空气）

上表面反射：n1<n2，有半波损失
下表面反射：n2>n3，无半波损失
净效果：只有一次半波损失

\delta = 2n_2 e \cos r + \frac{\lambda}{2} \tag{6-8}

情况 B：n1<n2<n3（如空气-油-水）

上表面反射：n1<n2，有半波损失
下表面反射：n2<n3，有半波损失
净效果：两次半波损失，相互抵消

\delta = 2n_2 e \cos r \tag{6-9}

情况 C：n1>n2（如玻璃-空气薄膜-玻璃）

上表面反射：n1>n2，无半波损失
下表面反射：取决于 n2 与 n3 的关系

6.3 等厚干涉

6.3.1 等厚干涉的条件

当薄膜厚度 e 不均匀（如楔形薄膜、牛顿环装置），而入射光近似正入射（i≈0，cosr≈1）时，光程差主要取决于厚度 e：

\delta \approx 2n_2 e + \text{半波损失修正} \tag{6-10}

同一厚度 e 对应同一光程差，从而对应同一光强。因此，干涉条纹即为薄膜的等厚线。

6.3.2 明暗纹条件

以情况 A（n1<n2>n3，正入射）为例：

\delta = 2n_2 e + \frac{\lambda}{2}

明纹条件（相长干涉）：

2n_2 e + \frac{\lambda}{2} = k\lambda \quad (k = 1, 2, 3, \ldots)

e_k = \left(k - \frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{2n_2} \tag{6-11}

暗纹条件（相消干涉）：

2n_2 e + \frac{\lambda}{2} = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (k = 0, 1, 2, \ldots)

e_k = k \frac{\lambda}{2n_2} \tag{6-12}

6.3.3 相邻条纹的厚度差

相邻两级明纹（或暗纹）对应的厚度差为：

\Delta e = \frac{\lambda}{2n_2} \tag{6-13}

对于 $\lambda = 550\,\text{nm}$ 、 $n_2 = 1.5$ 的薄膜：

\Delta e = \frac{550}{2 \times 1.5} \approx 183\,\text{nm}

6.3.4 厚度-光强关系

上图展示了光强随薄膜厚度的周期性变化。厚度每增加 λ/(2n2)，光强完成一个完整的明-暗-明周期。

6.4 等倾干涉

6.4.1 等倾干涉的条件

当薄膜厚度 e 均匀，但入射角 i 变化时（如扩展光源照射均匀薄膜），光程差主要取决于入射角 i：

\delta = 2n_2 e \cos r = 2n_2 e \sqrt{1 - \sin^2 r} = 2n_2 e \sqrt{1 - \left(\frac{n_1}{n_2}\sin i\right)^2} \tag{6-14}

同一入射角 i 对应同一光程差。在透镜焦平面上观察时，同一入射角的光线会聚于同一位置，形成同心圆环状的干涉条纹——等倾干涉条纹。

6.4.2 明暗纹条件

以情况 A 为例（n1<n2>n3）：

\delta = 2n_2 e \cos r + \frac{\lambda}{2}

明纹条件：

2n_2 e \cos r + \frac{\lambda}{2} = k\lambda \quad (k = 1, 2, 3, \ldots)

\cos r_k = \left(k - \frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{2n_2 e} \tag{6-15}

暗纹条件：

2n_2 e \cos r + \frac{\lambda}{2} = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (k = 0, 1, 2, \ldots)

\cos r_k = k \frac{\lambda}{2n_2 e} \tag{6-16}

6.4.3 条纹特征

中心条纹：i=0（正入射），cosr=1，光程差最大
- 若 2n2e+λ/2=kλ，中心为明纹
- 若 2n2e+λ/2=(k+1/2)λ，中心为暗纹
条纹形状：同心圆环（等倾线为圆锥面与观察平面的交线）
条纹间距：从中心向外，条纹越来越密集（cosr 随 r 的变化越来越快）

6.4.4 等厚干涉与等倾干涉的比较

特征	等厚干涉	等倾干涉
薄膜厚度	不均匀	均匀
入射光	近似正入射	扩展光源，角度分布
条纹形状	取决于厚度分布	同心圆环
条纹本质	等厚线	等倾线（等入射角线）
典型实例	劈尖、牛顿环	均匀薄膜、法布里-珀罗干涉仪
光程差公式	δ≈2n2e	δ=2n2ecosr

6.5 薄膜干涉的应用

6.5.1 增透膜（减反射膜）

在光学元件表面镀一层厚度为 e=λ/(4n2)e=λ/(4n2) 的薄膜（n1<n2<n3 或 n1<n2>n3），可使特定波长的反射光相消干涉，从而减少反射损失。

设计条件：

膜厚：e=λ0/(4n2)（λ0 为中心波长）
折射率： $n_2 = \sqrt{n_1 n_3}$ （最佳条件）

此时反射光的光程差 $\delta = 2n_2 e = \lambda_0/2$ ，加上半波损失修正后总光程差为 λ0 或 0，取决于具体情况，实现相消干涉。

6.5.2 增反膜

与增透膜相反，通过选择适当的膜厚使反射光相长干涉，增加反射率。多层增反膜（如介质镜）可以实现极高的反射率（>99.9%）。

6.5.3 薄膜测厚

利用等厚干涉条纹可以精确测量薄膜厚度或表面平整度。条纹的间距和形状直接反映了厚度的变化。

本章小结

核心公式

公式	表达式	说明
几何光程差	$\delta_{\text{geo}} = 2n_2 e \cos r$	薄膜干涉基本公式
斯涅耳定律	$n_1\sin i = n_2\sin r$	联系入射角与折射角
正入射光程差	$\delta = 2n_2 e + \lambda/2$	n1<n2>n3 情况
等厚明纹	$e_k = (k-1/2)\lambda/(2n_2)$	n1<n2>n3
等厚暗纹	$e_k = k\lambda/(2n_2)$	n1<n2>n3
相邻条纹厚度差	$\Delta e = \lambda/(2n_2)$
等倾明纹	$\cos r_k = (k-1/2)\lambda/(2n_2 e)$

关键概念

薄膜干涉是分振幅法获得相干光的典型应用
光程差 δ=2n2ecosr，由薄膜厚度和折射角共同决定
等厚干涉：厚度不均匀、正入射，条纹为等厚线
等倾干涉：厚度均匀、角度变化，条纹为同心圆环
半波损失情况取决于三层介质的折射率关系

下一章讨论等厚干涉的两个经典实例：劈尖和牛顿环。

第7章劈尖

7.1 劈尖装置

劈尖（wedge film）是由两块平板玻璃以微小夹角 θθ 叠合而成的空气薄膜（或液体薄膜）装置。

7.1.1 装置结构

两块光学平板玻璃，一端紧密接触，另一端垫以细丝（或薄片）
两板之间形成厚度线性变化的空气薄膜
劈尖角 θ 极小（通常 $10^{-4}\sim 10^{-3}$ rad）

设沿劈尖方向的位置为 x（从接触棱算起），则空气膜厚度为：

e(x) = x \tan\theta \approx x\theta \tag{7-1}

7.1.2 光程差

空气劈尖（n=1），正入射。设下板为玻璃 (n3>1)，上板也为玻璃 (n1>1)，则：

上表面反射：n1>n=1（光密→光疏），无半波损失
下表面反射：n=1<n3（光疏→光密），有半波损失

总光程差：

\delta = 2ne + \frac{\lambda}{2} = 2x\theta + \frac{\lambda}{2} \tag{7-2}

7.2 条纹分布

7.2.1 明暗纹位置

明纹条件：

2x\theta + \frac{\lambda}{2} = k\lambda \quad (k = 1, 2, 3, \ldots)

x_k = \left(k - \frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{2\theta} \tag{7-3}

暗纹条件：

2x\theta + \frac{\lambda}{2} = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (k = 0, 1, 2, \ldots)

x_k = k \frac{\lambda}{2\theta} \tag{7-4}

7.2.2 条纹间距

相邻条纹的间距：

\Delta x = x_{k+1} - x_k = \frac{\lambda}{2\theta} \tag{7-5}

关键结论：

条纹等间距排列（因为厚度线性变化）
条纹平行于接触棱
劈尖角 θ 越小，条纹越稀疏

7.2.3 条纹间距与劈尖角的关系

取 λ=550nm：

θ (rad)	Δx (mm)
10⁻⁴	2.75
5×10⁻⁴	0.55
10⁻³	0.275

7.2.4 条纹总数

设劈尖长度为 L，最大厚度为 emax=Lθ，则条纹总数约为：

N \approx \frac{L}{\Delta x} = \frac{2L\theta}{\lambda} = \frac{2e_{\max}}{\lambda} \tag{7-6}

7.3 劈尖干涉的应用

7.3.1 测量细丝直径

将待测细丝夹在两块平板玻璃之间形成劈尖，测得条纹间距 Δx 和劈尖长度 L，则细丝直径（即最大厚度）为：

d = e_{\max} = L\theta = L \cdot \frac{\lambda}{2\Delta x} = \frac{L\lambda}{2\Delta x} \tag{7-7}

示例：L=50mm，λ=589nm，测得 Δx=0.5mm：

d = \frac{50 \times 589 \times 10^{-6}}{2 \times 0.5} \approx 0.0295\,\text{mm} = 29.5\,\mu\text{m}

7.3.2 检测表面平整度

将待测平面与标准光学平面叠合形成空气劈尖。若待测表面平整，条纹为等间距直线；若表面有凸起或凹陷，条纹将发生弯曲。

设条纹弯曲量为 $\Delta x'$ （相对于理想直线的偏移），对应的表面高度偏差为：

\Delta h = \frac{\lambda}{2} \cdot \frac{\Delta x'}{\Delta x} \tag{7-8}

7.3.3 测量折射率

将已知厚度 e 的透明薄片放入劈尖中，观察条纹移动数目 N，则：

N \cdot \frac{\lambda}{2} = (n - 1)e \Rightarrow n = 1 + \frac{N\lambda}{2e} \tag{7-9}

本章小结

核心公式

公式	表达式	说明
厚度分布	e(x)=xθ	θ 为劈尖角
光程差	δ=2xθ+λ/2	空气劈尖，正入射
条纹间距	$\Delta x = \dfrac{\lambda}{2\theta}$	等间距
细丝直径	$d = \dfrac{L\lambda}{2\Delta x}$	测量应用
表面偏差	$\Delta h = \dfrac{\lambda}{2} \cdot \dfrac{\Delta x'}{\Delta x}$	平整度检测

关键概念

劈尖是厚度线性变化的薄膜，产生等间距的等厚干涉条纹
接触棱处（e=0）为暗纹（因半波损失）
条纹间距反比于劈尖角 θ
应用：测量细丝直径、检测表面平整度、测量折射率

第8章牛顿环

8.1 牛顿环装置

牛顿环（Newton's rings）是等厚干涉的又一经典实例，由平凸透镜和平面玻璃板组成。

8.1.1 装置结构

平凸透镜：曲率半径为 R 的球面与平面组成
平面玻璃板：光学平面
二者在中心点接触，之间形成厚度从中心向外逐渐增大的空气薄膜

设距接触点径向距离为 r 处的空气膜厚度为 e。由几何关系：

R^2 = (R - e)^2 + r^2 \tag{8-1}

展开：

R^2 = R^2 - 2Re + e^2 + r^2

2Re = r^2 + e^2 \tag{8-2}

由于 $e \ll R$ （薄膜很薄）， $e^2$ 项可忽略：

e \approx \frac{r^2}{2R} \tag{8-3}

关键关系：空气膜厚度与径向距离的平方成正比。

8.1.2 光程差

空气膜 (n=1)，正入射。反射光的半波损失情况与劈尖相同：

上表面（透镜-空气界面）：nglass>nair（光密→光疏），无半波损失
下表面（空气-平板界面）：nair<nglass（光疏→光密），有半波损失

总光程差：

\delta = 2e + \frac{\lambda}{2} = \frac{r^2}{R} + \frac{\lambda}{2} \tag{8-4}

8.2 条纹分布

8.2.1 明暗环半径

明环条件：

\frac{r^2}{R} + \frac{\lambda}{2} = k\lambda \quad (k = 1, 2, 3, \ldots)

r_k = \sqrt{\left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda R} \tag{8-5}

暗环条件：

\frac{r^2}{R} + \frac{\lambda}{2} = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (k = 0, 1, 2, \ldots)

r_k = \sqrt{k\lambda R} \tag{8-6}

8.2.2 条纹特征

中央为暗斑：r=0 时，δ=λ/2，相消干涉
条纹为同心圆环：等厚线为同心圆
条纹间距不等：从中心向外，条纹越来越密

相邻暗环的半径差：

r_{k+1} - r_k = \sqrt{(k+1)\lambda R} - \sqrt{k\lambda R} = \sqrt{\lambda R}\left(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}\right) \tag{8-7}

当 $k$ 较大时，利用近似 $\sqrt{k+1} - \sqrt{k} \approx 1/(2\sqrt{k})$ ：

r_{k+1} - r_k \approx \frac{\sqrt{\lambda R}}{2\sqrt{k}} \tag{8-8}

条纹间距随 kk 增大而减小（越来越密）。

8.2.3 数值估计

取 R=1m，λ=550nm：

k	rk (mm)	rk+1−rk (mm)
1	0.74	0.31
4	1.48	0.15
9	2.22	0.10
16	2.97	0.07

8.2.4 强度分布

上图展示了牛顿环的径向强度分布。中央为暗斑，向外条纹越来越密集。

8.3 透射光的牛顿环

透射光也产生牛顿环，但与反射光的图样互补：

反射光中央为暗斑，透射光中央为亮斑
反射光的明环对应透射光的暗环

这是因为透射光没有半波损失（两次折射，无反射相位突变），光程差为：

\delta_{\text{trans}} = 2e = \frac{r^2}{R} \tag{8-9}

明暗条件与反射光相反。

8.4 牛顿环的应用

8.4.1 测量曲率半径

由暗环公式 $r_k^2 = k\lambda R$ ，得：

R = \frac{r_k^2}{k\lambda} \tag{8-10}

实际测量中，为减小接触点位置的不确定性，常测量第 $m$ 环和第 $n$ 环的直径：

D_m^2 - D_n^2 = 4(m - n)\lambda R

R = \frac{D_m^2 - D_n^2}{4(m - n)\lambda} \tag{8-11}

8.4.2 测量波长

已知 $R$ ，测量暗环半径 $r_k$ ：

\lambda = \frac{r_k^2}{kR} \tag{8-12}

8.4.3 检测透镜表面质量

观察牛顿环的形状：

理想球面：圆环为完美的同心圆
表面有缺陷：圆环变形、不规则
接触点不在中心：圆环偏心

8.4.4 测量液体折射率

将液体注入透镜与平板之间，形成液体薄膜。暗环半径变为：

r_k' = \sqrt{\frac{k\lambda R}{n}} \tag{8-13}

与空气中的暗环半径 $r_k = \sqrt{k\lambda R}$ 比较：

n = \left(\frac{r_k}{r_k'}\right)^2 \tag{8-14}

8.5 劈尖与牛顿环的比较

特征	劈尖	牛顿环
薄膜形状	楔形（厚度线性变化）	球面形（厚度平方变化）
厚度公式	e=xθ	$e = r^2/(2R)$
条纹形状	平行直线	同心圆环
条纹间距	等间距	从中心向外越来越密
中央	暗纹（接触棱）	暗斑
光程差	δ=2xθ+λ/2	$\delta = r^2/R + \lambda/2$
暗纹位置	$x_k = k\lambda/(2\theta)$	$r_k = \sqrt{k\lambda R}$

本章小结

核心公式

公式	表达式	说明
膜厚-半径关系	$e = \dfrac{r^2}{2R}$	近轴近似
光程差	$\delta = \dfrac{r^2}{R} + \dfrac{\lambda}{2}$	反射光
暗环半径	$r_k = \sqrt{k\lambda R}$	k=0,1,2,…
明环半径	$r_k = \sqrt{(k-1/2)\lambda R}$	k=1,2,3,…
曲率半径测量	$R = \dfrac{D_m^2 - D_n^2}{4(m-n)\lambda}$	消除接触点误差
液体折射率	$n = (r_k/r_k')^2$	比较空气/液体中的环

关键概念

牛顿环是等厚干涉的圆对称实例
中央为暗斑（半波损失所致）
条纹从中心向外越来越密（ $r_k \propto \sqrt{k}$ ）
透射光图样与反射光互补
应用：测曲率半径、测波长、检测表面质量

下一章讨论迈克尔逊干涉仪，它将综合运用光程差、半波损失、时间相干性等概念。

第9章迈克尔逊干涉仪与时间相干性

9.1 迈克尔逊干涉仪

9.1.1 仪器结构

迈克尔逊干涉仪（Michelson interferometer）是 1881 年由美国物理学家阿尔伯特·迈克尔逊（Albert A. Michelson）设计的精密光学仪器。它是分振幅法干涉的典型代表。

仪器主要部件：

光源 S：单色光源（如钠灯、激光）
分束镜 G₁：半透半反镜，将入射光分为两束——一束透射、一束反射
反射镜 M₁：可精密移动的平面反射镜
反射镜 M₂：固定的平面反射镜
补偿板 G₂：与分束镜材质、厚度相同的平行玻璃板
观察屏幕（或探测器）

9.1.2 光路分析

入射光经分束镜 G₁ 分为两束：

光束 1：透射过 G₁ → 到达 M₁ → 反射回 G₁ → 被 G₁ 反射 → 到达屏幕
光束 2：被 G₁ 反射 → 到达 M₂ → 反射回 G₁ → 透射过 G₁ → 到达屏幕

两束光在屏幕上叠加，产生干涉。

9.1.3 光程差

设 M₁ 到分束镜的距离为 d1，M₂ 到分束镜的距离为 d2。

光束 1 的光程（往返）：2d1（在空气中）光束 2 的光程（往返）：2d2（在空气中）

注意：光束 2 在往返过程中三次穿过分束镜玻璃，而光束 1 只穿过一次。为补偿这一不对称性，加入了补偿板 G₂，使两束光在玻璃中经过的光程相等。

因此，净光程差为：

\delta = 2(d_1 - d_2) = 2\Delta d \tag{9-1}

其中 Δd=d1−d2 为两臂的光程差（单程）。

9.1.4 干涉条纹

设观察方向与光轴夹角为 θ，则有效光程差为：

\delta = 2\Delta d \cos\theta \tag{9-2}

明纹条件：

2\Delta d \cos\theta = k\lambda \quad (k = 0, 1, 2, \ldots) \tag{9-3}

暗纹条件：

2\Delta d \cos\theta = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (k = 0, 1, 2, \ldots) \tag{9-4}

9.1.5 条纹形状

干涉条纹的形状取决于 Δd 的大小和观察方式：

等倾条纹（Δd 较大，扩展光源）：
- 条纹为同心圆环
- 中央条纹对应 θ=0
- Δd 增大时，条纹从中心"涌出"；Δd 减小时，条纹向中心"陷入"
等厚条纹（Δd≈0，M₁ 与 M₂' 不严格平行）：
- 条纹为近似平行直线
- 类似劈尖干涉
白光条纹（Δd≈0，白光光源）：
- 仅在 Δd≈0 附近出现少量彩色条纹
- 中央为白色条纹（零光程差）

9.1.6 M₂ 的虚像

迈克尔逊干涉仪可以等效为：M₂ 经分束镜成像为虚像 M₂'，M₁ 与 M₂' 之间形成空气薄膜。

当 M₁ 与 M₂' 平行时：等效为均匀薄膜 → 等倾干涉
当 M₁ 与 M₂' 有夹角时：等效为空气劈尖 → 等厚干涉

9.2 迈克尔逊干涉仪的应用

9.2.1 测量波长

移动 M₁，记录条纹移动数目 N 和 M₁ 移动距离 Δd：

N \cdot \lambda = 2\Delta d \Rightarrow \lambda = \frac{2\Delta d}{N} \tag{9-5}

示例：M₁ 移动 0.3 mm，观察到 1000 个条纹移动：

\lambda = \frac{2 \times 0.3 \times 10^{-3}}{1000} = 600\,\text{nm}

9.2.2 测量折射率

在一条光路中插入长度为 l、折射率为 n 的透明介质，光程差变化：

\Delta\delta = 2(n - 1)l

条纹移动数目：

N = \frac{2(n - 1)l}{\lambda} \Rightarrow n = 1 + \frac{N\lambda}{2l} \tag{9-6}

9.2.3 测量微小位移

由式 (9-5)，每移动 λ/2 的距离，条纹移动一个周期。利用这一原理，迈克尔逊干涉仪可以测量纳米级的微小位移。

9.2.4 迈克尔逊-莫雷实验

1887 年，迈克尔逊和莫雷利用该干涉仪进行了著名的以太漂移实验，结果为零，为狭义相对论的建立提供了关键实验依据。

9.3 时间相干性

9.3.1 时间相干性的实验体现

迈克尔逊干涉仪是研究时间相干性的理想工具。当两臂光程差 Δ=2Δd 逐渐增大时：

Δ≪Lc：条纹清晰（V≈1）
Δ≈Lc：条纹对比度下降（V<1）
Δ≫Lc：条纹完全消失（V≈0）

9.3.2 可见度与光程差的关系

设光源的光谱强度分布为 I(ν)，归一化后为 S(ν)。条纹可见度由光谱分布的傅里叶变换决定：

V(\Delta) = \left|\int S(\nu) e^{i2\pi\nu\Delta/c} d\nu\right| = |\gamma(\Delta/c)| \tag{9-7}

其中 γ(τ) 为第 1 章引入的复相干度。

常见线型：

洛伦兹线型（碰撞展宽主导）：
$S(\nu) = \frac{1}{\pi}\frac{\Delta\nu/2}{(\nu - \nu_0)^2 + (\Delta\nu/2)^2}$ $V(\Delta) = e^{-\pi\Delta\nu|\Delta|/c} = e^{-|\Delta|/L_c} \tag{9-8}$
高斯线型（多普勒展宽主导）：
$S(\nu) = \frac{1}{\sqrt{\pi}\Delta\nu}e^{-(\nu-\nu_0)^2/\Delta\nu^2}$ $V(\Delta) = e^{-(\pi\Delta\nu\Delta/c)^2} = e^{-(\Delta/L_c)^2} \tag{9-9}$

其中相干长度 $L_c = c/(\pi\Delta\nu)$ （洛伦兹）或 $L_c = c/(\pi\Delta\nu)$ （高斯，定义略有不同）。

9.3.3 相干长度与谱线宽度的关系

由傅里叶变换的不确定关系：

L_c \cdot \Delta\nu \sim c \tag{9-10}

利用 ν=c/λ， $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2$ ：

L_c \sim \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda} \tag{9-11}

典型数值：

光源	λ (nm)	Δλ (nm)	Lc
白光	550	300	∼1μm
钠灯	589	0.1	∼3mm
氦氖激光	632.8	10⁻⁶	∼400m

9.3.4 实验测量相干长度

在迈克尔逊干涉仪中，逐渐增大 Δd，观察条纹可见度的变化。当 V 下降到 1/e 时对应的光程差即为相干长度 Lc：

L_c = 2\Delta d_{V=1/e} \tag{9-12}

由此可反推光源的谱线宽度：

\Delta\lambda = \frac{\lambda^2}{L_c} \tag{9-13}

本章小结

核心公式

公式	表达式	说明
光程差	δ=2Δdcosθ	Δd=d1−d2
正入射光程差	δ=2Δd	θ=0
波长测量	λ=2Δd/N	移动M1测条纹数
折射率测量	n=1+Nλ/(2l)	插入介质测条纹移动
可见度(洛伦兹)	$V = e^{-\Delta/L_c}$
相干长度	$L_c = \lambda^2/\Delta\lambda$

关键概念

迈克尔逊干涉仪是分振幅法的精密干涉仪
补偿板 G₂ 确保两束光在玻璃中的光程相等
等效模型：M₁ 与 M₂ 的虚像 M₂' 之间的空气薄膜干涉
时间相干性体现为：光程差增大时条纹可见度下降
相干长度 Lc 由光源的单色性决定
应用：测波长、测折射率、测微小位移、光谱分析

至此，波动光学·干涉部分全部完成。后续章节将讨论衍射、偏振和几何光学。

光学

第1章 相干光

1.1 问题的提出

1.2 原子发光机制与波列

1.2.1 自发辐射的微观图像

1.2.2 波列的数学描述

1.2.3 光源宏观发光的统计性质

1.3 相干条件

1.3.1 两列光波叠加的一般处理

1.3.2 相干条件的严格推导

1.3.3 相干条件的总结

1.4 相干叠加与非相干叠加的定量比较

1.4.1 非相干叠加

1.4.2 相干叠加

1.4.3 对比分析

1.5 时间相干性与空间相干性

1.5.1 时间相干性

1.5.2 时间相干性与单色性的关系

1.5.3 空间相干性

1.6 获得相干光的方法

1.6.1 分波阵面法（division of wavefront）

1.6.2 分振幅法（division of amplitude）

本章小结

核心公式

概念要点

第2章 杨氏双缝干涉

2.1 实验装置

2.2 光程差推导

2.2.1 几何关系

2.2.2 远场近似

2.2.3 相位差

2.3 明暗条纹条件

2.3.1 干涉强度公式

2.3.2 明纹（相长干涉）条件

2.3.3 暗纹（相消干涉）条件

2.4 条纹间距

2.4.1 条纹间距的物理意义

2.4.2 数值估计

2.4.3 白光干涉

2.5 强度分布的详细分析

2.5.1 强度分布曲线

2.5.2 与波长的关系

2.5.3 与缝距的关系

2.6 讨论

2.6.1 近似条件的适用范围

2.6.2 非等振幅情况

2.6.3 缝的有限宽度效应（预告）

本章小结

核心公式

关键概念

第3章 洛埃镜

3.1 实验装置

3.2 光程差推导

3.2.1 等效双光源模型

3.2.2 几何关系

3.2.3 光程差

3.2.4 半波损失

3.3 明暗条纹条件

3.3.1 明纹条件

3.3.2 暗纹条件

3.3.3 与杨氏双缝的对比

3.3.4 强度分布

3.4 半波损失的深入讨论

3.4.1 物理起源

3.4.2 实验验证

3.4.3 半波损失的条件总结

3.5 条纹的可见区域

3.5.1 几何限制

3.5.2 镜面长度的限制

本章小结

核心公式

关键概念

第4章 缝宽对条纹的影响与空间相干性

4.1 缝宽对双缝干涉条纹的影响

4.1.1 问题的提出

4.1.2 单缝衍射包络

4.1.3 双缝干涉 × 单缝衍射

4.1.4 缺级现象

4.1.5 缝宽对中央主极大的影响

4.2 光源宽度与空间相干性

第1章相干光

第2章杨氏双缝干涉

第3章洛埃镜

第4章缝宽对条纹的影响与空间相干性

第5章光程与透镜不引起附加光程差

第6章薄膜干涉

第7章劈尖

第8章牛顿环